Wie kann man dieses Integral berechnen?

Question

Wie berechnet man das Integral \(\displaystyle \int\limits_{0}^{1} \frac{\sin(\ln(x))}{\ln(x)} dx\)

Comments

Zunächst die Frage: Sollst Du den Wert des Integral berechnen oder ist die Aufgabe, die Existenz dieses Integrals zu zeigen?

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Woher stammt die Aufgabe? Muss das exakt sein oder darf es numerisch genähert werden?

Der Graph kann irritieren. Du weißt wie sich der Graph für x → 0 verhält oder?

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Poste mal die Aufgabenstellung vollständig im Original.

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Substituiere \(x=e^{-u}\). Dann bekommst du

$$\int_0^\infty\frac{\sin u}u e^{-u}\, du$$

Dafür gibt es eine Menge Techniken (Guckst du hier).

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Siehe diesen Link

https://math.stackexchange.com/questions/3616610/various-methods-used-to-evaluate-int-01-frac-sin-ln-x-ln-x-dx

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Sollst Du den Wert des Integral berechnen

Ja.

Muss das exakt sein

Ja.

Du weißt wie sich der Graph für x → 0 verhält oder?

Ja.

Poste mal die Aufgabenstellung vollständig im Original.

So wie geschrieben.

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Danke dafür.

Answer 1

Ich versuchs mal:

\(\begin{aligned} & \int\limits_{0}^{1} \frac{\sin(\ln x)}{\ln x} \; dx &&\Bigm| \text{Taylorreihe vom Sinus} \\\\ &= \int\limits_{0}^{1} \frac{\ln x -\frac{(\ln x)^3}{3!}+\frac{(\ln x)^5}{5!}-\frac{(\ln x)^7}{7!}+\dots}{\ln x} \; dx &&\Bigm| \text{kürzen} \\\\ &= \int\limits_{0}^{1} \left(1 -\frac{(\ln x)^2}{3!}+\frac{(\ln x)^4}{5!}-\frac{(\ln x)^6}{7!}+\dots \right)  \; dx &&\Bigm| \text{Summenregel} \\\\ &= \int\limits_{0}^{1} dx - \frac{1}{3!}\int\limits_{0}^{1} (\ln x)^2 \; dx + \frac{1}{5!}\int\limits_{0}^{1} (\ln x)^4 \; dx - \frac{1}{7!}\int\limits_{0}^{1} (\ln x)^6 \; dx + \dots &&\Bigm| \text{partielle Integration} \\\\ &= 1 - \frac{1}{3!}\cdot 2 + \frac{1}{5!}\cdot 24 - \frac{1}{7!}\cdot 720 + \dots &&\Bigm| \text{ausrechnen} \\\\ &= 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots &&\Bigm| \text{Leibnizreihe} \\\\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}\)