Hardcore Dreieck für echte Profis

Question

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Aufgabe 1010 Punkte Flächengleich

Die Gemeinde Thalesheim besitzt ein dreieckiges Grundstück. In der Abbildung ist es durch das Dreieck ABC dargestellt. Es soll in zwei Bereiche aufgeteilt werden, die genau denselben Flächeninhalt haben. Auf dem einen Bereich soll ein Spielplatz und auf dem anderen ein Skatepark gebaut werden.

Der Stadtplaner hat diese Teilung im Bauplan wie folgt konstruiert:
- Zeichne im Dreieck ABC die Höhe HA.
- Konstruiere das Quadrat AHKL und die Diagonale AK.
- Zeichne auf der Strecke AK den Punkt M ein, der von A denselben Abstand hat wie der Punkt H .
Zeichne die Orthogonale zur Strecke HA durch M.
Sie schneidet die Strecke AB im Punkt D, die Strecke AH im Punkt \( N \) und die Strecke AC im Punkt E.
Im Plan ist die Strecke HA 12 cm lang, die Strecke BH ist 9 cm lang und die Strecke HC ist 5 cm lang.
Die beiden flächengleichen Bereiche werden durch das Dreieck DEA und das Trapez BCED dargestellt.
(Die Eckchen im Plan bei den Punkten A, N, H, K und L symbolisieren rechte Winkel.)
Zeichnet den abgebildeten Bauplan mit den angegebenen Maßen.
Beweist, dass das Grundstück der Gemeinde auf diese Art tatsächlich in zwei flächengleiche Bereiche zerlegt wird.

Aufgabe:

Comments

Benenne Strecken gleicher Länge mit den gleichen Buchstaben und suche nach Beziehungen zwischen diesen Parametern.

Answer 1

Wenn zwei ähnliche Figuren das Flächenverhältnis 1:2 haben, so haben einander entsprechende Strecken das Längenverhältnis √1 : √2.

Es gilt also AN= 1 : √2   * AH.

Überzeuge dich davon, dass die rote Teilstrecke auf AK genau diese Länge haben muss.

Die grüne Strecke ist dann übrigens (1- 1:√2)  * AH

und MK ist das √2-fache davon.