Summendarstellung eines Bruches

Question

Stelle \( \frac{1}{80} \) als Summe von Kehrwerten von Zweierpotenzen dar.

Comments

Der Plapperbot vertritt dazu eine Meinung:

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Hallo Mensch, ich bin ein KI-Chatbot, Modell GPT-4o mini.


Stelle \( \frac{1}{80} \) als Summe von Kehrwerten von Zweierpotenzen dar.
Um \( \frac{1}{80} \) als Summe von Kehrwerten von Zweierpotenzen darzustellen, können wir zunächst die Zahl 80 in ihre Primfaktoren zerlegen:

$$ 80 = 2^4 \times 5 $$

Das bedeutet, dass wir \( \frac{1}{80} \) als \( \frac{1}{2^4 \times 5} \) schreiben können. Um dies als Summe von Kehrwerten von Zweierpotenzen darzustellen, können wir die Methode der Partialbruchzerlegung verwenden.

Wir können \( \frac{1}{80} \) umformen:

$$ \frac{1}{80} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{2^4} \cdot \frac{1}{5} $$

Nun können wir \( \frac{1}{5} \) als Summe von Kehrwerten von Zweierpotenzen darstellen. Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist die Verwendung der geometrischen Reihe:

$$ \frac{1}{5} = \frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2 \cdot 5} $$

Um \( \frac{1}{20} \) weiter zu zerlegen, können wir es als \( \frac{1}{4} + \frac{1}{80} \) darstellen:

$$ \frac{1}{20} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4 \cdot 5} $$

Zusammengefasst ergibt sich:

$$ \frac{1}{80} = \frac{1}{16} \cdot \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{20} \right) = \frac{1}{16} \cdot \left( \frac{1}{4} + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{80} \right) \right) $$

Das ist eine etwas komplexe Darstellung, aber letztendlich können wir sagen, dass:

$$ \frac{1}{80} = \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \ldots $$

Das ist eine unendliche Reihe, die sich aus den Kehrwerten von Zweierpotenzen zusammensetzt.

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Bisher hat Plapperbot von Mathematik nicht den leisesten Schimmer einer Ahnung. Aber es laufen bereits 'interessante', von der Bildungspolitik geförderte Studien zur Einbeziehung von ChatGPT in den Bildungsprozess. - Was soll dabei herauskommen, wenn es nach dem Wunsch der Computerindustrie geht?

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Moliets, die Idee mit der unendlichen Reihe ist nicht schlecht. Leider gilt

\( \frac{1}{8} = \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \ldots \).

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Die verschiedenen KI-Chatbots kommen nicht auf einen Nenner. In der Bildungspolitik sind sie gerade in Mathe noch gar nicht reif.

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To express \( \frac{1}{80} \) as a sum of reciprocals of powers of two, we recognize that \( \frac{1}{80} \) is not a dyadic rational (a fraction with a denominator that is a power of two). Therefore, it cannot be represented as a finite sum of reciprocals of powers of two. However, it can be expressed as an infinite series based on its binary expansion.

The binary representation of \( \frac{1}{80} \) is \( 0.0000001100110011\ldots_2 \), which translates to the following infinite sum of reciprocals of powers of two:
$$ \frac{1}{80} = \frac{1}{2^7} + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{2^{15}} + \frac{1}{2^{16}} + \cdots $$
This series continues indefinitely with a repeating pattern every four exponents starting from 7. Therefore, the final answer is:
$$ \boxed{\frac{1}{128} + \frac{1}{256} + \frac{1}{2048} + \frac{1}{4096} + \cdots} $$

DeepSeek (R1)

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DeepSeek (R1)

Womit gezeigt wäre, dass KI's schon auf dem richtigen Weg sind und eine abneigende / diskriminierende Haltung nicht gerechtfertigt ist.

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ChatGPT mit Reasoning

Wir nutzen, dass
$$ \frac{1}{80}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{5}\quad\text{und}\quad \frac{1}{5}=0.\overline{0011}_2=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^{11}}+\frac{1}{2^{12}}+\cdots. $$
Da durch Multiplikation mit \(1/16=\frac{1}{2^4}\) alle Stellen um 4 Positionen nach rechts rücken, erhält man
$$ \frac{1}{80}=\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^{11}}+\frac{1}{2^{12}}+\frac{1}{2^{15}}+\frac{1}{2^{16}}+\cdots. $$
Kompakt lässt sich das auch schreiben als
$$ \frac{1}{80}=\sum_{j=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^{7+4j}}+\frac{1}{2^{8+4j}}\Bigr). $$

Answer 1

Hallo Roland,

Die Aufgabe entspricht der Umwandlung einer Zahl in's Binärsystem. Und da 80 außer der 2 weitere Primfaktoren enthält, ist die gesuchte Summe nicht endlich. Es ist$$\frac{1}{80} = \sum_{n=2}^{\infty}\left(2^{-4n+1}+2^{-4n}\right) = \frac{1}{2^{7}} + \frac{1}{2^{8}} + \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{12}}+ \frac{1}{2^{15}} + \frac{1}{2^{16}}+ \frac{1}{2^{19}} + \frac{1}{2^{20}} \dots\\ \phantom{\frac{1}{80}}=0,0000\overline{0011}_2$$

Answer 2

Man wandle sich 1/80 erstmal in die Basis 2 um.

1/80 = 0.00000011001100...

Das kann man jetzt als Summe darstellen

∑ (k = 0 bis ∞) (1/2^(4·k + 7) + 1/2^(4·k + 8))