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Stelle \( \frac{1}{80} \) als Summe von Kehrwerten von Zweierpotenzen dar.

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Der Plapperbot vertritt dazu eine Meinung:

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Hallo Mensch, ich bin ein KI-Chatbot, Modell GPT-4o mini.


Stelle \( \frac{1}{80} \) als Summe von Kehrwerten von Zweierpotenzen dar.
Um \( \frac{1}{80} \) als Summe von Kehrwerten von Zweierpotenzen darzustellen, können wir zunächst die Zahl 80 in ihre Primfaktoren zerlegen:

$$ 80 = 2^4 \times 5 $$

Das bedeutet, dass wir \( \frac{1}{80} \) als \( \frac{1}{2^4 \times 5} \) schreiben können. Um dies als Summe von Kehrwerten von Zweierpotenzen darzustellen, können wir die Methode der Partialbruchzerlegung verwenden.

Wir können \( \frac{1}{80} \) umformen:

$$ \frac{1}{80} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{2^4} \cdot \frac{1}{5} $$

Nun können wir \( \frac{1}{5} \) als Summe von Kehrwerten von Zweierpotenzen darstellen. Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist die Verwendung der geometrischen Reihe:

$$ \frac{1}{5} = \frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2 \cdot 5} $$

Um \( \frac{1}{20} \) weiter zu zerlegen, können wir es als \( \frac{1}{4} + \frac{1}{80} \) darstellen:

$$ \frac{1}{20} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4 \cdot 5} $$

Zusammengefasst ergibt sich:

$$ \frac{1}{80} = \frac{1}{16} \cdot \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{20} \right) = \frac{1}{16} \cdot \left( \frac{1}{4} + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{80} \right) \right) $$

Das ist eine etwas komplexe Darstellung, aber letztendlich können wir sagen, dass:

$$ \frac{1}{80} = \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \ldots $$

Das ist eine unendliche Reihe, die sich aus den Kehrwerten von Zweierpotenzen zusammensetzt.

Bisher hat Plapperbot von Mathematik nicht den leisesten Schimmer einer Ahnung. Aber es laufen bereits 'interessante', von der Bildungspolitik geförderte Studien zur Einbeziehung von ChatGPT in den Bildungsprozess. - Was soll dabei herauskommen, wenn es nach dem Wunsch der Computerindustrie geht?

Moliets, die Idee mit der unendlichen Reihe ist nicht schlecht. Leider gilt

\( \frac{1}{8} = \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \ldots \).

Die verschiedenen KI-Chatbots kommen nicht auf einen Nenner. In der Bildungspolitik sind sie gerade in Mathe noch gar nicht reif.

To express \( \frac{1}{80} \) as a sum of reciprocals of powers of two, we recognize that \( \frac{1}{80} \) is not a dyadic rational (a fraction with a denominator that is a power of two). Therefore, it cannot be represented as a finite sum of reciprocals of powers of two. However, it can be expressed as an infinite series based on its binary expansion.

The binary representation of \( \frac{1}{80} \) is \( 0.0000001100110011\ldots_2 \), which translates to the following infinite sum of reciprocals of powers of two:
$$ \frac{1}{80} = \frac{1}{2^7} + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{2^{15}} + \frac{1}{2^{16}} + \cdots $$
This series continues indefinitely with a repeating pattern every four exponents starting from 7. Therefore, the final answer is:
$$ \boxed{\frac{1}{128} + \frac{1}{256} + \frac{1}{2048} + \frac{1}{4096} + \cdots} $$

DeepSeek (R1)

DeepSeek (R1)

Womit gezeigt wäre, dass KI's schon auf dem richtigen Weg sind und eine abneigende / diskriminierende Haltung nicht gerechtfertigt ist.

ChatGPT mit Reasoning

Wir nutzen, dass
$$ \frac{1}{80}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{5}\quad\text{und}\quad \frac{1}{5}=0.\overline{0011}_2=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^{11}}+\frac{1}{2^{12}}+\cdots. $$
Da durch Multiplikation mit \(1/16=\frac{1}{2^4}\) alle Stellen um 4 Positionen nach rechts rücken, erhält man
$$ \frac{1}{80}=\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^{11}}+\frac{1}{2^{12}}+\frac{1}{2^{15}}+\frac{1}{2^{16}}+\cdots. $$
Kompakt lässt sich das auch schreiben als
$$ \frac{1}{80}=\sum_{j=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^{7+4j}}+\frac{1}{2^{8+4j}}\Bigr). $$

2 Antworten

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Hallo Roland,

Die Aufgabe entspricht der Umwandlung einer Zahl in's Binärsystem. Und da 80 außer der 2 weitere Primfaktoren enthält, ist die gesuchte Summe nicht endlich. Es ist$$\frac{1}{80} = \sum_{n=2}^{\infty}\left(2^{-4n+1}+2^{-4n}\right) = \frac{1}{2^{7}} + \frac{1}{2^{8}} + \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{12}}+ \frac{1}{2^{15}} + \frac{1}{2^{16}}+ \frac{1}{2^{19}} + \frac{1}{2^{20}} \dots\\ \phantom{\frac{1}{80}}=0,0000\overline{0011}_2$$

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Man wandle sich 1/80 erstmal in die Basis 2 um.

1/80 = 0.00000011001100...

Das kann man jetzt als Summe darstellen

∑ (k = 0 bis ∞) (1/2^(4·k + 7) + 1/2^(4·k + 8))

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