Schwierigkeiten den KgN zu bestimmen

Question

Mir ist klar das wenn ich 4/3 + 5/4 rechne, der KgN 12 ist. Nur wie ist es zum Beispiel bei sowas:


1/x-2 - 1/x+2 (/ stellt den Bruchstrich dar). Laut Lösung ist der KgN (x−2)(x+2). Ich kann mir aber einfach nicht erklären warum das so ist. Für mich ist der KgN eine Zahl, auf die ich komme, wenn ich den Zähler beider Brüche mit x multipliziere. So wie im obigen Beispiel: ich multipliziere 3 mit 4 und komme auf 12, bzw. 4 mit drei und komme auf 12. Somit ist 12 der KgN.
Ich hätte gedacht das der KgN (x+2) ist.

Comments

Der kleinste gemeinsame Nenner ist immer 1. Was hier gesucht wird, ist der größte gemeinsame Nenner, auch Hauptnenner genannt. Dieser ist das kleinste gemeinsame Vielfache der jeweiligen Nenner. https://de.wikipedia.org/wiki/Gemeinsamer_Nenner

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Der kleinste gemeinsame Nenner ist immer 1.

Nope, das ist nicht korrekt. Es geht hier um den gemeinsamen Nenner der beteiligten Brüche und das ist sicher nicht die 1 .

Was hier gesucht wird, ist der größte gemeinsame Nenner, auch Hauptnenner genannt.

Einen größten gemeinsamen Nenner gibt es nicht. Zu jedem gemeinsamen Nenner kann ich dir beliebig viele größere gemeinsame Nenner nennen, indem ich den genannten Nenner mit einer beliebigen ganzen Zahl multipliziere.

Als Hauptnenner bezeichnet man die kleinste ganze Zahl, für die gilt, dass wenn man alle beteiligten Brüche auf diese Zahl als Nenner bringt, alle Zähler ganzzahlig sind. Daraus folgt, dass der Hauptnenner ein ganzzahliges Vielfaches eines jeden der beteiligten Nenner sein muss. Er ist die kleinste Zahl, die ein ganzzahliges Vielfaches aller beteiligten Nenner ist. 

Somit ist deine Aussage

Dieser ist das kleinste gemeinsame Vielfache der jeweiligen Nenner.

als leider einzige aller deiner Aussagen richtig.

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Ist das denn soweit korrekt:


Mir war nicht bewusst das es mehrere Möglichkeiten gibt einen gleichen Nenner zu finden. Wenn ich richtig recherchiert habe sind es drei?

1) man multipliziert die beiden Nenner miteinander und hat so den gemeinsamen nenner. 1/2+2/4 = 4/8 +4/8

Wie nennt sich diese Methode?
2.) man sucht die kleinstmögliche Zahl in die beide Nenner passen. Bei 3/2+2/4 wäre dies z.b. 4. also 6/4 + 2/4

3) wie genau funktioniert die dritte Methode? Im Netz habe ich kein vernünftiges Beispiel finden können.

Danke

Answer 1

ich weiß nicht so genau ob ich deine Frage verstehe, aber ich glaube du hast da was mit der Bruchrechnung noch nicht ganz verstanden:


wenn du

$$ \frac{4}{3}+\frac{5}{4} $$ rechnen willst,

musst du zunächst den Nenner gleichnamig machen, also beide Brüche so erweitern, dass im Nenner das gleiche steht sodass du sie addieren kannst. Dabei ist es natürlich am einfachsten, wenn man den kleinsten gemeinsamen Nenner nimmt. In deinem Fall ist also der kgV(3,4)=12.

Damit ergibt sich deine Gleichung zu:

$$ \frac{4\cdot4}{3\cdot4}+\frac{5\cdot3}{4\cdot3}=\frac{16}{12}+\frac{15}{12}=\frac{16+15}{12}=\frac{31}{12} $$


Das gleiche machst du in dem anderen Fall:

Hier musst du den kgV(x-2,x+2) finden, was (x-2)(x+2) ist  (ein Vielfaches von 2 Zahlen ist natürlich immer die Multiplikation beider Zahlen)

Ich hoffe das hilft dir weiter?

Comments

Mir war nicht bewusst das es mehrere Möglichkeiten gibt einen gleichen Nenner zu finden. Wenn ich richtig recherchiert habe sind es drei?

1) man multipliziert die beiden Nenner miteinander und hat so den gemeinsamen nenner. 1/2+2/4 = 4/8 +4/8

Wie nennt sich diese Methode?
2.) man sucht die kleinstmögliche Zahl in die beide Nenner passen. Bei 3/2+2/4 wäre dies z.b. 4. also 6/4 + 2/4


3) wie genau funktioniert die dritte Methode? Im Netz habe ich kein vernünftiges Beispiel finden können.
Danke

Answer 2

Setz für x ein paar Zahlen ein

x=5 ---> 3, 7

KgN   21   (x-2)(x+2)

x=6 ---> 4, 8

KgN  8             (geht zufällig kleiner)

x=7 ---> 5, 9

KgN 45         (x-2)(x+2)

....

Fazit:

(x-2)(x+2) ist immer ein möglicher gemeinsamer Nenner.
Zufällige kleinere gemeinsame Nenner, kannst du nicht benutzen, solange du da die Variable x hast.

Comments

Man spricht bei (x-2)(x+2) eigentlich vom Hauptnenner und nicht vom kleinsten gemeinsamen Nenner.