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Aufgabe:

Ist die Partialbruchzerlegung formal richtig angewendet worden?

IMG_1886.jpeg

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \int \frac{x+16}{(x-2)(x+4)} d x \\ \Leftrightarrow \frac{x+16}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+4} \\ \Leftrightarrow \frac{x+16}{(x-2)(x+4)}=\frac{A}{x} \quad 1 \cdot(x)(x+4) \\ x+16=A(x+4) \\ x=2 \\ \Leftrightarrow 2+16=A(2+4) \\ \Leftrightarrow 18=6 A \quad 1: 6 \\ 3=A \\ \frac{x+16}{(x-2)(x+4)}=\frac{B}{x+4} \quad 1 \cdot(x-2)(x+4) \\ x+16=B \cdot(x-2) \quad x=-4 \\ \Leftrightarrow-4+16=B \cdot(-4-2) \\ \Leftrightarrow 12=-6 B \quad 1:(-6) \\ \Leftrightarrow-2=B \end{array} \)
\( \rightarrow 3 \ln |x-2|-2 \ln |x+4|+c \)

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Hast Du die Probe gemacht? Mit welchem Ergebnis?

1 Antwort

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Ich komme auf das gleiche Ergebnis

(x + 16)/((x - 2)·(x + 4)) = 3/(x - 2) - 2/(x + 4)

Und davon die Menge aller Stammfunktion

F(x) = 3·LN(|x - 2|) - 2·LN(|x + 4|) + C

Avatar vor von 491 k 🚀

Also wäre es nicht schlimm, wenn ich das so wie hier rechnen würde?

Ich finde es komisch gerechnet, das sind doch keine Äquivalenzumformungen

In der zweiten Zeile zwei brüche rechts, in der dritten nur noch einer

Genau, volle Punktzahl gibt das nicht. Es scheint, es ist ein auswendig gelerntes Schema verwendet worden, ohne dass klar ist, was man eigentlich tut.

Ja es ist wirklich ein auswendig gelerntes Schema..

Wie könnte ich es verbessern?

Was user26605 und nudger vermutlich sagen wollen ist, mach nur dort Pfeile für Äquivalenzumformungen wo welche stattfinden und nicht gefühlt nach jeder Zeile.

Das Integral ist also nicht äquivalent zur darunter liegenden Gleichung.

Ein Integral kann nie äquivalent zu irgendwas sein, weil es keine Aussage(form) ist.
Schau, dass Du verstehst(!), was die PBZ ist (nämlich die Umkehrung des Auf-den-Hauptnenner-bringen), dann musst Du nichts auswendig lernen und weißt auch selbst, wie Du es überprüfen kannst.

Ich danke euch!! Ich werde es nochmal versuchen formal richtig zu schreiben, wäre lieb, wenn ihr sagen könntet, ob die neuere Version besser ist

Ich mach das so: IMG_1264.jpeg

Meins ist zwar jetzt länger, aber ist es so besser?:

image.jpg

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \int \frac{x+16}{(x-2)(x+4)} d x \\ \left.\frac{x+16}{(x-2)(x+4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+4} \right\rvert\, \cdot(x-2)(x+4) \\ x+16=\frac{A}{x-2} \cdot(x-2)(x+4)+\frac{B}{x+4} \cdot(x-2)(x+4) \\ x+16=A \cdot(x+4)+B(x-2) \end{array} \)
1. Für \( x=-4 \) énsetzen
\( \begin{array}{l} -4 \\ -4=A \cdot(-4+4)+B(-4-2) \\ -4=-6 B \\ 12=-6 B \quad I:(-6) \\ -2=B \end{array} \)
2. Für \( x=2 \) einsetzen
\( \begin{array}{l} 2+16=A \cdot(2+4)+B \cdot(2-2) \\ 2+16=6 A \\ 18=6 A \quad 1: 6 \\ 3=A \end{array} \)

Ja, das ist viel besser, kann so durchgehen.

So habe ich es auch besser verstanden :,)

Schau Dir auch die Methode von user26605 an (und probiere sie an Beispielen aus), die wirst Du später ohnehin brauchen (bei komplizierteren Brüchen).

@ MC Schade, dass Du das Ergebnis der FS verschlechterst und die Beträge beim LN vergisst.

@ MC Schade, dass Du das Ergebnis der FS verschlechterst und die Beträge beim LN vergisst.

Danke für die Bemerkung. Ich habe die Beträge eingefügt.

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