Kombinatorik Formel Gesamtmöglichkeiten

Question

Hallo, ich habe eine Frage zur Kombinatorik

Betrachten wir den Fall, ich habe N Kugeln, x davon schwarz (x₁, x₂, ...) und y weiße.

Ich ziehe k=2 Mal jeweils eine Kugel ohne Zurücklegen.

Dabei bedeutet [x_i, y_j], dass Ergebnis "Schwarze x_i und Weiße y_j Kugel gezogen"

Welche Formel verwendet man nun zum Berechnen der Gesamt-Möglichkeiten, wie man gezogen hat.

Den Binomialkoeffizienten zu verwenden, denke ich, wäre falsch, da hier die Reihenfolge nicht beachtet wird und doch somit "gleiche Ergebnisse" wie [x₁, y₃] und [y₃, x₁] nur als ein Mal gezählt werden, obwohl es für dieses Ergebnis ja wie man sieht 2 Fälle gibt.

Stattdessen verwendet man \( \frac{N!}{(N-k)!} \) oder? Hier werden die zwei Ergebnisse von oben jeweils gezählt und damit berücksichtigt.

Comments

Nur jetzt als Beispiel

Du hast s = 3 schwarze Kugeln und w = 2 weiße kugeln und ziehst jetzt k = 3 Kugeln ohne zurücklegen. Wie viele Möglichkeiten gibt es.

{sss, ssw, sws, sww, wss, wsw, wws}

Also gibt es 7 Möglichkeiten. Du suchst jetzt nach einer Formel in Abhängigkeit von s, w und k, welche diese 7 Möglichkeiten berechnet?

Answer 1

Sei \(m\) die Anzahl der schwarzen Kugeln (und damit \(N-m\) weiße).

Dann gibt es für ein Ergebnis \([x_i,y_j]\) genau \(m(N-m)\) Möglichkeiten.

Analog für das zweite Ziehen, wobei dann ja jeweils eine Kugel weniger vorhanden ist: \((m-1)(N-m-1)\) Möglichkeiten.

Für das kombinierte Ergebnis beider Ziehungen multipliziere und erhalte \(m(m-1)(N-m)(N-m-1)\) Möglichkeiten.

Das gilt, wenn man das "jeweils" als "eine Kugel aus den schwarzen und eine aus den weißen" versteht. Könnte auch anders gemeint sein.

Comments

Sorry, ich meinte Folgendes:
In einem Zug ziehe ich nur eine Kugel.

Ich mache insgesamt k Züge.

Answer 2

Geht es um die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten oder von Möglichkeiten? Beachte, dass es bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten nach Laplace günstig ist, wenn alle Ausgänge die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Dann würde man die Möglichkeiten mit
N * (N - 1) = N! / (N - 2)!
berechnen.

Interessiert die Reihenfolge nicht gibt es ja jeweils 2 Anordnungen, weshalb man die obigen Möglichkeiten noch durch 2 teilen sollten.

Nimm dir ein einfaches Beispiel mit 3 schwarzen und 2 weißen Kugeln und schau, ob die Formeln dafür das richtige Ergebnis liefern.