Satz von Stokes für 0-Formen auf 1-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten im R^n

Question

Ola,

in meinem Fall geht es um einen Spezialfall von Integralen von k-Formen und dem Satz von Stokes.

Sei M im R^n eine berandete Kurve, also das Bild einer Kurve c : [a,b] =: J —> R^n mit Anfangspunkt c(a) = p und Endpunkt c(b) = q.

Dann gilt nach dem Satz von Stokes für eine Funktion f : M —> R aus der Klasse C∞ die Gleichheit

 ∫ (M) df = ∫ ({p,q}) f, da Rand(M) = {p,q}.

Warum gilt aber auch

∫ (M) df = f(q) - f(p) ?

Also ich habe mir das so erklärt:

Es ist ja df = Σ f_i dx_i, wobei f_i : M —> R für die partiellen Ableitungen nach der i-ten Variable stehen. Dann folgt nach der Definition vom Integral für k-Formen : ∫ (M) df = ∫ (J) c*(df)

= ∫ (J) d(f • c) = ∫ (a bis b) df(c(t)) dc(t) dt

Wie gehts aber jetzt weiter? Danke für jede Hilfe im voraus!

Comments

Manchen ist einfach langweilig. Account gesperrt (den Verdacht mit TxMan kann ich bestätigen).

Answer 1

Ich nehme hier mal an, dass die Kurve \(c\) injektiv sein soll. Dann ist nämlich \(c:J \to M\) eine stetige Bijektion von einem kompakten Raum in einen Hausdorffraum und somit ein Homöomorphismus.

Wir können jetzt \(x=c^{-1}\) als Karte nehmen. Damit wird \(M\) zur eindimensionalen Mannigfaltigkeit.

Dass \(M\) eindimensional ist bedeutet nun, dass es nur eine Koordinate gibt, nach der wir \(f\) ableiten können.

Es ist also \(df = f^\prime \ dx\) \(= (f \circ x^{-1})^\prime \circ x \ dx\).

Damit folgt \(c^*(df) = (f \circ c)^\prime \ d(\mathrm{id})\) und somit haben wir schließlich

\(\int_J c^*(df) = \int_J (f \circ c)^\prime(t) \ dt \) \(=[(f \circ c)(t)]_a^b\) \(=f(q)-f(p)\).

Comments

Hier handelt es sich um einen Troll. Ernst gemeinte Frage oder nicht, der Account wurde gesperrt, erwarte also bitte keine Rückmeldung vom Fragesteller.

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Danke für die Info. Tatsächlich habe ich die Antwort geschrieben, bevor ich gesehen habe, was er vorhin gepostet hat. Schade ...