Restglied der Exponentialreihe?

Question

Hallo, ich hätte eine Frage zu folgendem Zusammenhang:

Problem/Ansatz:

$$|R_{N+1}(x)|\quad\leq\quad2\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}\quad\text{für alle x mit}\:|x|\,\leq\,1\,+\,\frac{1}{2}N.$$

$$\text{Daraus soll nun folgen:}$$

$$R_{k+1}(1)\,\leq\,\frac{1}{k!}\:\text{für k}\,\geq\,1.$$

$$\text{Vielleicht könnte mir jemand diesen Zusammenhang verständlich erklären.}$$

Comments

Huhu,

Ich habe Deinen LatexCode angepasst. Zeilenumbrüche über \\ versteht unser Latex nicht. Zeilenweise funzt es aber.

Was wäre denn eine passende Überschrift und passendes Stichwort?

Grüße

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Hallo, danke für die Hilfe. Die ursprüngliche Frage bezog sich auf das Restglied der Exponentialreihe.

Wie kann ich das Problem mit Latex denn zukünftig vermeiden?

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Das einzige Problem war nur, dass Du \\ verwendet hast. Sonst sieht das doch top aus. Nutze also zukünftig kein \\ mehr :D.

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Wenn man für x eins einsetzt und die 2 mit N+1 abschätzt ist man doch schon da, oder?

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@user26605 Ja, so ist es. Mach doch eine Antwort aus Deinem Kommentar. Mehr ist ja auch kaum dazu zu sagen, außer es wenig hilfreich im Detail vorzurechnen.

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@Unknown

AH danke, gibt es noch andere Alternativen Zeilenumbrüche auszuführen?

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Warum sollten Zeilenumbrüche in \(\LaTeX\) hier nicht über \\ funktionieren? Beispiel
\(\qquad\textit{Zeile 1}\\\qquad\textit{Zeile 2}\)

Man kann z.B. mit \\[10px] sogar den Zeilenabstand festlegen:
\(\qquad\textit{Zeile 3}\\[10px]\qquad\textit{Zeile 4}\)

Answer 1

Hallo Celo. Zu zeigen ist, dass aus deiner ersten Ungleichung die zweite folgt. Setze in die erste Ungleichung x = 1 ein. Dann folgt:

\( \left|R_{N+1}(1)\right| \leqslant 2 \frac{1}{(N+1)!} \) für \( 1 \leq 1+\frac{1}{2} N \quad N \in \mathbb{N}_{0} \)

Damit ist die rechte Ungleichung erfüllt. Also gilt

\( \left|R_{N+1}(1)\right| \leq \frac{2}{(N+1)!} \quad \) für \( \quad N \in \mathbb{N}_{0} \)

Jetzt ist zu zeigen, dass

\( \left|R_{N+1}(1)\right| \leq \frac{2}{|N+1|!} \leq \frac{1}{N!} \)

Mach das mal bitte. Ersetze dann N durch k. Überlege dann, ob man die Betragsstriche weglassen kann. Dann bist du fertig. Wenn du Fragen hast, frag nur.