Gleichungen mit Lambda lösen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \begin{array}{ll}\infty-\text { Lösungen }=\text { aufeinander } \Rightarrow & \left.\begin{array}{l}a_{1} \cdot x+b_{1} \cdot y=c_{1} \\ a_{2} \cdot x+b_{2} \cdot y=c_{2}\end{array}\right\} \text { müssen }=\text { sein! } \\ \text { I: } a \cdot x+y=-2 \\ \text { II: } 3 x+b \cdot y=6 \\ c_{1} \cdot \lambda=c_{2}\end{array} \quad \begin{array}{ll}(-2) \cdot \lambda=6 \backslash:(-2) \Rightarrow & a_{1} \cdot \lambda=a_{2} \\ \lambda=\frac{6}{(-2)}=-3 & a \cdot(-3)=3 \\ & a=-1 \\ & b_{1} \lambda=b_{2} \\ & \frac{1 \cdot(-3)=b}{h=-2}\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe zu dieser Gleichjng eine Frage. Die Lösungen sollen a= -1 und b = -3 sein, ich verstehe aber nicht wie man zu den roten unterstrichen Zahlen kommt...?

Answer 1

Aloha :)

Du hast hier 2 Variablen \(x\) und \(y\), die du so wählen sollst, dass die beiden Gleichungen$$ax+y=-2\quad\text{und}\quad3x+by=6$$erfüllt sind. Damit diese beiden Gleichungen unendlich viele gemeinsame Lösungen haben, müssen die Lösungspunkte alle auf einer Geraden liegen, die durch beide Gleichungen beschrieben wird. Das heißt die beiden Gleichungen müssen zueinander äquivalent sein. Wenn wir die erste Gleichug mit \((-3)\) multiplizieren, erreichen wir schon mal, dass die beiden rechten Seiten gleich sind:$$\red{-3a}\cdot x\green{-3}\cdot y=\blue 6\quad\text{und}\quad\red3\cdot x\green{+b}\cdot y=\blue 6$$

Damit beide Gleichungen identsich sind, muss noch \(\red{a=-1}\) und \(\green{b=-3}\) gewählt werden:$$3x-3y=6$$Die Lösungspunkte liegen daher alle auf der Geraden:$$y=x-2$$

Answer 2

Wegen \(\lambda=-3\), muss die zweite Gleichung das \(-3\)-fache der ersten Zeile sein.

Die 3 stammt aus der zweiten Gleichung \(a_2\) und die 1 stammt aus der ersten Gleichung \(b_1\).