Flächenberechnung Dreieck im Kreis / zusammengesetzte Formen

Question

Aufgabe:

Wie rechne ich die Fläche des Dreieckes aus? Habe bereits versucht, doch das Resultat stimmt nicht mit der Musterlösung überein.

Problem/

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(Grundlinie mal Höhe)/2

Die Höhe berechnet man mittels Pythagoras.

Kreis und r dienen nur zur Verwirrung oder werden für andere Fragen benötigt.

Answer 1

Planfigur:

Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierende hier die Höhe \(h_c\) im Verhältnis \(1:2\)

Der Radius ist \(r=10\). Somit ist die Höhe \(h_c=15\)LE

Satz des Pythagoras \((h_c )^2+(\frac{c}{2})^2=b^2\)

Im gleichseitigen Dreieck ist \(a=b=c\)

\((h_c )^2+(\frac{c}{2})^2=c^2\)

Nun kannst du \(c\) berechnen und damit auch die Fläche des Dreiecks.

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Hier ist es günstiger, direkt von Anfang an nur mit der Seite \(a\) zu arbeiten. Ansonsten die beste Antwort, da sie auf Trigonometrie verzichtet (man beachte die anderen Fragen des FS).

Answer 2

Drei kongruenten Teildreiecke, zwei Seiten haben je die Länge 10, dazwischen ein 120°-Winkel.

Diese Formel (Quelle: Wikipedia) sollte bekannt sein:

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Die Aufgabe verlangt, dass sie ohne additionale Formeln gelöst werden sollte, also nur die Grundformeln.

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Erstens: Das IST eine Grundformel (die Schüler nach Klasse 10 nur gern vergessen).

Zweitens: Zeige den Scan, wo das von dir Behauptete steht.

Drittens: Wenn du weißt (Klasse 7), dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilen, hat das Gesamtdreieck schon mal die Höhe 15.

Die Grundseite s bekommst du dann raus über s² + (0,5s)²=15².

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Erstens: Das IST eine Grundformel (die Schüler nach Klasse 10 nur gern vergessen).

Wird oft gar nicht erst gelehrt. Jedenfalls nicht in NRW.

Answer 3

A = 3·1/2·10·10·sin(120°) = 75·√3 ≈ 129.9 FE

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Hier evtl. noch ein anderer Weg über die Grundformel A = 1/2·g·h

sin(30°) = h/10 --> h = 5

cos(30°) = 0.5s/10 --> s = 10·√3

A = 3·1/2·(10·√3)·5 = 75·√3 ≈ 129.9 FE

Answer 4

Ein Kreissegment (die dunkelgraue Fläche) hat den Flächeninhalt

\(\displaystyle A_{\text{Segment}} = \frac{r^2}{2} \cdot (\underbrace{\alpha - \sin{\alpha}}_{\text{im Bogenmaß}}) \) wobei \( \alpha = 120^\circ \)

und die drei Segmente somit \( A_{\text{dunkelgrau}}= 100\pi -75 \sqrt{3} \).

Der Kreis hat den Flächeninhalt \( A_{\text{Kreis}} = \pi r^2 = 100\pi \).

Subtrahiere das eine vom anderen.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist \( A= 75 \sqrt{3} \).