Wie groß darf der Anteil defekter Kugelschreiber höchstens sein?

Question

Aufgabe:

Bei der Produktion von einfachen Kugelschreibern als Werbegeschenke sind erfahrungsgemäß einige defekt.
Wie groß darf der Anteil defekter Kugelschreiber höchstens sein, damit in einer Packung von 200 Kugelschreibern mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % höchstens 5 defekt sind?

Problem/Ansatz:

Das sieht wie eine abgewandelte ‚mindestens 3 x‘ Aufgabe aus, allerdings ist p gesucht, nicht n. Kann man so etwas exakt lösen? Ich habe durch ausprobieren mit der Binomialverteilung p = 1,31% gefunden, ist das korrekt?

Nicht ganz klar ist mir, was mit Anteil gemeint ist. p oder die tatsächliche Anzahl der defekten? Die wäre dann ja höchsten 2,62 also 2 - aber dann könnte man ja nie 5 finden, wie paßt das zusammen?

Answer 1

Das sieht wie eine abgewandelte ‚mindestens 3 x‘ Aufgabe aus, allerdings ist p gesucht, nicht n. Kann man so etwas exakt lösen? Ich habe durch ausprobieren mit der Binomialverteilung p = 1,31% gefunden, ist das korrekt?

Ja Deine Antwort ist richtig und mit Anteil ist p gemeint.

Hier wie ich es rechnen würde.

Bei der Produktion von einfachen Kugelschreibern als Werbegeschenke sind erfahrungsgemäß einige defekt.
Wie groß darf der Anteil defekter Kugelschreiber höchstens sein, damit in einer Packung von 200 Kugelschreibern mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % höchstens 5 defekt sind?

Über die Näherung der Normalverteilung

n = 200

P(X ≤ 5) = NORMAL((5.5 - 200·p·(1 - p))/√(200·p·(1 - p))) = 0.95 --> p = 0.01402

Davon ausgehend kann man mit dem Taschenrechner und probieren etwas nachoptimieren.

Über die Binomialverteilung und einem numerischem Näherungsverfahren

∑ (x = 0 bis 5) ((200 über x)·p^x·(1 - p)^(200 - x)) = (200 über 0)·p^0·(1 - p)^(200 - 0) + (200 über 1)·p^1·(1 - p)^(200 - 1) + (200 über 2)·p^2·(1 - p)^(200 - 2) + (200 über 3)·p^3·(1 - p)^(200 - 3) + (200 über 4)·p^4·(1 - p)^(200 - 4) + (200 über 5)·p^5·(1 - p)^(200 - 5) = 0.95 --> p = 0.01314

CAS/MMS-Rechner können bei Bedarf das über eine Gleichung mit binomcdf auch ausrechnen.

Hier z.B. mit Geogebra

Answer 2

Nicht ganz klar ist mir, was mit Anteil gemeint ist. p oder die tatsächliche Anzahl der defekten? Die wäre dann ja höchsten 2,62 also 2 - aber dann könnte man ja nie 5 finden, wie paßt das zusammen?

Ein Anteil ist immer etwas, was in Relation zu einem Grundwert steht. In der Stochastik entspricht das dann häufig einer Wahrscheinlichkeit.

Des Weiteren geht es auch nicht um die Wahrscheinlichkeit genau 5 defekte Kugelschreiber zu ziehen. Diese wäre dann tatsächlich 0, aber die Wahrscheinlichkeit, weniger als 5 defekte Kugelschreiber zu ziehen, kann dann dennoch größer sein, denn du könntest ja dann auch nur einen oder 2 finden.

Kann man so etwas exakt lösen?

Ausprobieren ist bei solchen Aufgaben natürlich mühsam, je nachdem, wie viele Nachkommastellen man haben möchte. Es lässt sich aber auch mit einem GTR/CAS recht gut lösen. Bei den "mindestens 3x"-Aufgaben kannst du das ja prima über eine Wertetabelle machen, da \(n\) eine natürliche Zahl ist. Wenn \(p\) gesucht ist, kann man das prima mit der Grafikfunktion lösen:

Lasse dir die Graphen von binomcdf(5; 200; p) und \(y=0,95\) zeichnen und bestimme den Schnittpunkt.