Aloha :)
Damit ein Punkt \(P(x;y;z)\) in beiden Ebenen liegt, müssen seine Koordinaten beide Ebenengleichungen erfüllen. Es geht hier also handwerklich darum, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Ziel beim Lösen ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau eine Eins bestehen.
$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Rechenschritt}\\\hline3 & 2 & -2 & -1 &-3\cdot\text{Zeile 2}\\1 & -4 & -2 & 9\\\hline\pink0 & 14 & 4 & -28 &\div4\\\pink1 & -4 & -2 & 9\\\hline\pink0 & 3,5 & 1 & -7 &\\\pink1 & -4 & -2 & 9 &+2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline\pink0 & 3,5 & \blue1 & -7 &\Rightarrow 3,5y+\blue z=-7\\\pink1 & 3 & \blue0 & -5 & \Rightarrow\pink x+3y=-5\end{array}$$
Nun stellst du die erhaltenen Gleichungen nach den farbigen Variablen um:$$\blue z=-7-3,5y\quad;\quad \pink x=-5 -3y$$und kannst alle Lösungen hinschreiben:$$\begin{pmatrix}\pink x\\y\\\blue z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5-3y\\y\\-7-3,5y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\0\\-7\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-3\\1\\-3,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\0\\-7\end{pmatrix}-\frac y2\begin{pmatrix}6\\-2\\7\end{pmatrix}$$
Da \(y\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden kann, darfst du \((-\frac y2)\) durch jede andere beliebige reelle Zahl ersetzen und so die Geradengleichung in gewohnter Form schreiben:$$\vec x=\begin{pmatrix}-5\\0\\-7\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6\\-2\\7\end{pmatrix}\quad;\quad s\in\mathbb R$$
Bei der letzten Aufgabe kannst du die Gleichungen direkt nach einer Variable umstellen:$$4y=5\implies y=\frac54\quad;\quad6x+5z=0\implies z=-\frac65\,x$$und alle gemeinsamen Lösungen hinschreiben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\[1ex]\frac54\\[1ex]-\frac65x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[1ex]\frac54\\[1ex]0\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1\\[1ex]0\\[1ex]-\frac65\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\frac54\\0\end{pmatrix}+\frac x5\begin{pmatrix}5\\0\\-6\end{pmatrix}$$
Da \(x\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden kann, darfst du \(\frac x5\) durch jede andere beliebige reelle Zahl ersetzen und so die Geradengleichung wieder in gewohnter Form schreiben:$$\vec x=\begin{pmatrix}0\\\frac54\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}5\\0\\-6\end{pmatrix}\quad;\quad s\in\mathbb R$$
