Wie leitet man die Formel für die Quadratwurzel einer komplexen Zahl her? Ohne die trigonometrische Form zu benutzen!

Question

ich bin gerade beim Thema "Komplexen Zahlen" und verzweifle an meinen Übungsaufgaben.

Es heißt, wir müssen eine Formel für die Quadratwurzel aus a +bi finden.

Ist damit nun der Betrag gemeint? Oder doch etwas anderes?

Als Hilfestellung haben wir den Anfang gegeben, und zwar: (x + iy)² = a + bi

Wir sollen nun den Real- und den Imaginärteil von einander trennen. Dabei soll ein Gleichungssystem entstehen, das wir lösen sollen. Leider weiß ich nicht, wie ich zu diesem LGS komme und was überhaupt mein Ergebnis sein soll. Wie fange ich an? Mit der Binomischen Formel? Wie trenne ich Real- und Imaginärteil? Und wie löse ich das LGS?

 

PS: Die trigonometrische Form dürfen wir nicht verwenden!

 

Hoffe ihr könnnt mir helfen! :)

Answer 1

Hi,

gehe einfach direkt mal vor:


(x+yi)^2 = a+bi

x^2 + 2xyi + y^2*i^2 = a+bi

x^2+2xyi - y^2 = a+bi


Nun vergleiche die Koeffizienten:

x^2-y^2 = a und b = 2xy


Das heißt um auf die Quadratform zu kommen, musst Du von der ursprünglichen komplexen Zahl den Realteil quadrieren und den Imaginärteil quadrieren und von ersterem abziehen. Für den neuen Imaginärteil gilt, dass Imaginärteil und Realteil der ursprünglichen komplexen Zahl multipliziert werden und eine 2 dazukommt ;).


Grüße

Comments

Also, ich habe nun: (x² - y²)² - (2xy)² = a² - b²

Wie mache ich weiter? Ich kann doch nun nicht einfach die Wurzel ziehen.

Sorry, aber ich weiß es wirklich nicht ... :(

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Was ist das? Eine andere Aufgabe? Da ist ja kein i mehr dabei?!

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Nein, das ist dieselbe ... Sorry, hab ich da etwas falsch verstanden?!

Kannst du mir vielleicht nocheinmal den restlichen Lösungsweg zeigen?

Oder waren deine letzten Terme bereits die Endlösung? OO

Jetzt bin ich leider total verwirrt ....

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Eigentlich hatte ich alles nötige gesagt. Man muss natürlich wissen was ein "Koeffizientenvergleich" ist. Der Begriff sollte allerdings bekannt sein.

Man könnte meine letzte Zeile vor dem Vergleich noch umschreiben, aber das ist eigentlich nicht notwendig, wenn man es schon einmal gemacht hat^^.

x²+2xyi - y² = a+bi

x^2-y^2 + 2xyi = a+bi

 

"Vergleich" der Koeffizienten farbig dargestellt.

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Ja, nun weiß ich was a und b sind .. nämlich x² - y² und 2xy. Aber was hat das nun mit Wurzeln zu tun und wie wende ich das nun konkrete auf Aufgaben an? :)

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a und b sind gegeben. Du musst nun nur noch das Gleichungssystem nach x und y auflösen.

Die Auflösung ergibt dann die gewünschte Quadratwurzel.


Probiere das direkt mal in Deinem anderen Thread mit √(8+6i) aus ;).