Kostenfunktion dritten Grades aufstellen

Question

Fixkosten 35000€ und folgende Gesamtkosten Stück 50 --> 38.312,50 Gesamtkosten Stück 200 --> 46.600,00Gesamtkosten Stück 600--> 69800,00Gesamtkosten ErmittelnSie die Kostenfunktion dritten Grades. (Runden gegebenfalls auf die 5.Nachkommastelle )

Geben Sie die Funktion der Stückkosten an und berechnen Sie, wann diese minimal sind. Sie verkaufen das Handy zu einem Preis von 140€. Geben Sie die Erlösfunktion und die Gewinnfunktion an. Wann macht das Unternehmen den maximalen Gewinn und wie hoch ist dieser? Innerhalb welcher Grenzen macht das Unternehmen überhaupt Gewinn?

Beschreiben Sie zwei unterschiedliche Wege, um jenen Bereich zu ermitteln, in dem das Unternehmen Gewinn macht.

Answer 1

Allgemeine Gesamtkostenfunktion dritten Grades K ( x ) bei 35000 Euro Fixkosten:

K ( x ) = a x ³ + b x ² + c x + 35000

Gegeben:

K ( 50 ) = 125000 a + 2500 b + 50 c + 35000 = 38312,5

K ( 200 ) = 8000000 a + 40000 b + 200 c + 35000 = 46600

K ( 600 ) = 216000000 a + 360000 b + 600 c + 35000 = 69800

Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems überlasse ich dir zur Übung.

Es ergibt sich:

a = 0,0001

b = -0,08

c = 70

sodass also die gesuchte Gesamtkostenfunktion K ( x ) lautet:

K ( x ) = 0,0001 x ³ - 0,08 x ² + 70 x + 35000

 

Die Stückkosten sind die Kosten pro Stück.
Die Stückkostenfunktion S ( x ) ergibt sich daher (bei einfacher Betrachtungsweise) aus der  Gesamtkostenfunktion K ( x ) , indem man diese auf 1 Stück bezieht, also: 

S ( x ) = ( K ( x )  / x = 0,0001 x ² - 0,08 x  + 70 + 35000 / x

S ( x ) ist höchstens an der Stelle x = x₀ minimal , an der gilt;

S ' ( x₀ ) = 0
(notwendige Bedingung für einen Extremwert bei x₀)

sofern dort gilt:

S ' ' ( x₀ ) > 0
(hinreichende Bedingung für ein Minimum)

also:

S ' ( x ) = 0

<=> 0,0002 x - 0,08- 35000 / x ² = 0 

(Berechnung durch WolframAlpha, falls derartige Hilfen unzulässig sind, kann die Berechnung auch mit einem Näherungsverfahren (z.B. nach Newton) durchgeführt werden)

<=> x0 ≈ 729,15

 

Prüfung auf Minimum:

S ' ' ( x₀ ) = 0,0002 x₀ - 35000 * 2 / x₀³

= 0,0002 * 729,15 - 70000 / 729,15 ³ ≈ 0,15 > 0 

Also liegt bei x₀ ≈ 729,15 tatsächlich ein Minimum vor.

 

Bei einem Preis von 140 Euro / Stück lautet die Erlösfunktion:

E ( x ) = 140 x

und die Gewinnfunktion:

G ( x ) = E ( x ) - K ( x )

= 140 x - ( 0,0001 x ³ - 0,08 x ² + 70 x + 35000 )

= - 0,0001 x ³ + 0,08 x ² + 70 x - 35000

 

G ( x ) ist höchstens an der Stelle x = x₀ minimal , an der gilt;

G ' ( x₀ ) = 0
(notwendige Bedingung für einen Extremwert bei x₀)

sofern dort gilt:

G ' ' ( x₀ ) > 0
(hinreichende Bedingung für ein Minimum)

also:

G ' ( x ) = 0

<=> - 0,0003 x ² + 0,16 x + 70 = 0

(Berechnung durch WolframAlpha, falls derartige Hilfen unzulässig sind, kann die Berechnung auch mit der "Mitternachtsformel" druchgeführt werden.)

x₀ ≈ 818,43

Prüfung auf Maximum:

G ' ' ( x₀ ) = - 0,0006 x₀ + 0,16

= 0,0006 * 818,43 + 0,16 ≈- 0,33 < 0 

Also liegt bei x₀ ≈ 818,43 tatsächlich ein Minimum vor.

Der maximale Gewinn ist somit:

G ( 818,43 )

= - 0,0001 * 818,43 ³ + 0,08 * 818,43 ² + 70 * 818,43 - 35000

≈ 21055,61

Euro.

 

Der Gewinnbereich, also der Bereich, in dem das Unternehmen überhaupt Gewinn macht, ist der Bereich in dem G ( x ) positiv ist, in dem also gilt:

G ( x ) = - 0,0001 x ³ + 0,08 x ² + 70 x - 35000 > 0

Nur ein Bereich mit positiven Werten ist von Interesse. Dieser lautet (Wolfram Alpha):

 407 < x < 1144