Ungleichung lösen (2x+1) / (x - 3) > 1

Question

Hi,

ich hatte vor ein paar Tagen schon einmal eine Frage zum Vorzeichendiagramm gestellt die leider (noch) nicht beantwortet wurde.

Folgende Ungleichung habe ich mittels des Vorzeichendiagramms lösen können:

(x+2) /( x-1) < 0

Bei dieser Ungleichung komme ich aber nicht weiter:

(2x+1) / (x - 3) > 1

Wenn ich mir mein Vorzeichendiagramm aufmale unterteile ich diesen Term in 2x+1 , x-3 und (2x+1)/(x-3), komme aber bei dem ausfüllen des Vorzeichendiagramms nicht weiter. Ich weiß halt nicht wann ich ein Vorzeichendiagramm benötige und wann ich die Ungleichung wie eine Gleichung lösen kann, indem ich das x einfach "freischaufel". Ich hoffe mein Anliegen ist deutlich geworden und ihr versteht was ich meine.

Einen schönen Abend noch

Answer 1

(2·x + 1)/(x - 3) > 1 

Für x > 3

2·x + 1 > x - 3 
x > -4 --> Also x > 3

Für x < 3

2·x + 1 < x - 3
x < -4 --> Also x < - 4

Comments

Lösungsmenge total:

L = {x ∈ R| x<-4 oder x> 3}

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Ist das quasi eine Fallunterscheidung?

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Ja. Man kann da sehr gut eine Fallunterscheidung machen.

Beim Multiplizieren mit negativen Zahlen ändert sich ja das Ungleichheitszeichen. Daher sollte man das hier beachten.

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Ja. Muss man so machen, wenn man eine Ungleichung mit einer neg. Zahl multipliziert ändert sich das Ungleichheitszeichen.

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Also ist ein Vorzeichendiagramm zum Lösen einer Ungleichung gar nicht zwingend notwendig? Dasselbe kann ich auch mit einer Fallunterscheidung machen?

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Musst du nicht für ein Vorzeichendiagramm auf einer Seite der Ungleichung 0 haben?

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Da war ich mir nicht sicher. Ich dachte man kann die Ungleichung umstellen :-)
Tausend Dank

Answer 2

(2x+1) / (x - 3) > 1

(2x+1) / (x - 3)  - 1 >  0

(2x+1) / (x - 3) - (x-3)/(x-3) > 0

(2x + 1 - x + 3)/(x-3) > 0

(x + 4)/ (x - 3) > 0

Vorzeichenwechsel bei x = - 4 und x = 3

Vorzeichendiagramm ansehen.

Beide pos. bei x> 3 . Beide neg. bei x < -4

Daher wieder

L = {x ∈ R| x<-4 oder x> 3}