Grenzwert einer konvergenten Folge berechnen

Question

Es sei (a_n) n∈ℕ eine konvergente Folge in ℝ. Es gilt a_n≠4 und [(3a_n²+6a_n+1-9(a_n+4)) / (a_n-4)] - 3a_n ≤ 7 für alle n∈ℕ.
Ich soll den Grenzwert berechnen.

Answer 1

Hi,

$$ \text {Wenn } a_n \text { eine konvergente Folge ist, dann ist auch die Folge } b_n=\frac{3a_n^2+6a_{n+1}-9(a_n+4)}{a_n-4}-3a_n \text { eine konvergente Folge.} $$ $$ \text {Da } a_n \text { und } a_{n+1} \text { gegen den gleichen Grenzwert x konvergieren} $$ $$ \text {kann man den Grenzwert der Folge auch wie folgt schreiben} $$ $$ \frac{3x^2+6x-9(x+4)}{x-4}-3x=9 $$ Somit ist der Grenzwert der Folge 9, allerdings ist 9 nicht kleiner oder gleich 7, somit besitzt die Folge keinen Grenzwert im verlangten Bereich.