Gleichung einer Funktionenschar durch 2 gegebene Nullstellen aufstellen...

Question

... Die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie die Gleichung einer quadratischen Funktionenschar, deren Graphen nach unten offen sind und durch die Punkte (0,0) und (9,0) verlaufen.

Wie macht man das?

Answer 1

Wegen der Nullstellen, weisst du, dass (x-0) und (x-9) Faktoren sein müssen.

Somit
fk(x) : = k(x-0)(x-9) = k(x^2 - 9x) = kx^2 - 9kx , k <0 damit nach unten geöffnete Parabeln.

Comments

Grad wollt ich schon meckern ... da ist das x dann doch noch aufgetaucht ... :-)

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Danke euch, auch wenn ihr beide das mit dem "nach unten offen" scheinbar überlesen habt (dass man da je ein "-" vor das k schreiben muss weiß ich:)). Eigentlich logisch mit den Nullstellen, bin ich aber gerade einfach nicht drauf gekommen. Also ... :)

Tolles Forum hier, hab mich gleich mal registriert ;)

LG Lydia°

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fk(x) : = k(x-0)(x-9) = k(x² - 9x) = kx² - 9kx       , k<0 

oder natürlich, wie du gesagt hast

fk(x) : = -k(x-0)(x-9) = -k(x² - 9x) = -kx² + 9kx    , k> 0

Answer 2

Nun, die angegebenen Punkte sind offensichtlich die Nullstellen der Funktion, also kann man die Nullstellenform hernehmen :

f ( x ) = a ( x - x₁ ) ( x - x₂ ) 

und dort für x₁ bzw. x₂ die x-Koordinaten der gegebenen Nullstellen einsetzen:

f ( x ) = a ( x - 0 ) ( x - 9 )

= a x ( x - 9 )

= a x ² - 9 a x

Wegen des Parameters a handelt es sich hier um eine Schar von Parabeln.  Man schreibt also:

f_a = a x ² - 9 a x

Alle Parabeln dieser Schar gehen durch die angegebenen Punkte.

Hier beispielhaft ein Schaubild von 3 Parabeln dieser Schar (für a = - 1 a = 1 und a = 2 ):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%29x^2-9%28-1%29x%2C%281%29x^2-9%281%29x+%2C%282%29x^2-9%282%29x+