Grenzwert einer Funktion berechnen: -100sin^{50}(x) im Zähler dabei

Question

Aufgabe:

Grenzwert der Funktion berechnen:

\( \lim \limits _ { x \rightarrow \infty } \quad \frac{x^{4}+10^{5} x^{2}-100 \sin ^{50}(x)}{x^{4}+10^{7} x^{3}+10^{10} x^{2}+1} \)

Ich glaube, das Ergebnis sollte 1 sein.

Comments

Was denn nun? Bist du sicher oder glaubst du?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28x%5E4%2B10%5E5x%5E2-100sin%28x%29%5E50%29%2F%28x%5E4%2B10%5E7x%5E3%2B10%5E10x%5E2%2B1%29

Klammer doch x^4 im Zähler und Nenner aus!

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Im Zähler kommt -100*[sin(x)]^50 vor. Der Wert dürfte doch unbestimmt sein da lim x -> ∞ [ sin(x) ] unbestimmt ist. Wenn dem so ist ist der ganze Term unbestimmt.

Answer 1

Hi,


Du hast hier Polynome vorliegen, wobei der Teil mit dem Sinus getrost ignoriert werden darf. Der Sinus selbst schwankt nur zwischen -1 und 1. Dann kommt es bei den Polynomen jeweils auf die höchste Potenz an und deren Vorfaktoren. Das ist hier x^4 mit dem jeweiligen Vorfaktor 1. Also ist der Grenzwert insgesamt auch 1.


Sauber kann man das auch wie von sigma vorgeschlagen zeigen, indem x^4 ausklammert.

Grüße

Comments

@unknown
im Zähler kommt  -100*[sin(x)]^50 vor.
Der Wert dürfte doch unbestimmt sein da
lim x -> ∞ [ sin(x) ] unbestimmt ist.
Wenn dem so ist ist der ganze Term unbestimmt.

mfg Georg

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Wie kommst Du auf die Idee? Dir sollte bewusst sein, dass der Sinus zwischen -1 und 1 schwankt (wie in meiner Antwort erwähnt). Da ist egal ob unbestimmt oder nicht, da das gar nicht einfließt da x^4 viel zu "mächtig" ist.


Für die alleinige Betrachung von sin(x) hast Du natürlich recht.