Aufgabe:
Gegeben seien die Funktionen \( f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{0\} \)
mit \( f(x):=\frac{1}{x} \) sowie \( g: \mathbb{R} \rightarrow[-1,1] \) mit \( g(x):=\sin (x) \)
1. Ist \( f \) surjektiv? Ist \( g \) injektiv? (Begründung!)
2. Bestimmen sie \( f \circ g \) und \( g \circ f . \) Geben Sie jeweils auch den maximalen Definitionsbereich \( D_{f o g} \) bzw. \( D_{g \circ f} \) an!
3. Bestimmen Sie jeweils das Bild \( f \circ g\left(D_{f o g}\right) \) und \( g \circ f\left(D_{g \circ f}\right) . \) sind \( f \circ g: D_{f o g} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{0\} \) und
\( g \circ f: D_{g \circ f} \rightarrow[-1,1] \) surjektiv? (Begründung!)
4. Bestimmen Sie ein Intervall \( I \subset D_{f o g} \) so, dass die auf \( I \) eingeschränkte Funktion \( \left.f \circ g\right|_{I} \) injektiv ist. (Begründung!)
