Kurvendiskussion x^2*ln(4/x)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

\( f: x \mapsto x^{2} \cdot \ln \frac{4}{x} \)

der Definitionsmenge \( \left.D_{f}=\right] 0 ; \infty\left[.\right. \) Der Graph der Funktion \( f \) wird mit \( G_{f} \) bezeichnet.

Geben Sie die Nullstelle von \( f \) an und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte \( f(x) \) für \( x \rightarrow \infty \).

Berechnen Sie die exakte Lage und Art des Extrempunktes des Graphen \( G_{f} . \) Mögliches Teilergebnis: \( f^{\prime}(x)=2 x \cdot \ln \frac{4}{x}-x \)

Berechnen Sie den rechtssseitigen Grenzwert der Ableitungsfunktion \( f^{\prime} \) an der Stelle \( x=0 . \) Im Intervall \( ] 0 ; \frac{4}{\sqrt{e}} \) [ liegt die einzige Wendestelle \( x_{W} \). Untersuchen Sie mit den bisherigen Ergebnissen das Krümmungsverhalten des Graphen \( G_{f} \). Begründen Sie Ihre Angaben ohne Berechnung der zweiten Ableitung von \( f \).

Ich ziehe zwar immer alle notwendigen Ableitungen bis zum Schluss durch, aber hier soll man wohl auf die zweite Ableitung verzichten und anstatt dessen Interpretieren.

Answer 1

 

Als rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x = 0 hast Du 0. An der rechten Seite des Intervalls hast Du ebenfalls die Steigung 0, da da Dein Maximum sitzt.

Damit ist die Sache klar (solange kein Logikfehler vorliegt): Mit dem Wissen, dass ein Wendepunkt im Intervall vorliegt haben wir eine Linkskrümmung gefolgt von einer Rechtskrümmung.

Grüße

Answer 2

Hallo Bepprich,

Nullstelle
x^2 * ln ( 4/x ) = 0
ln ( 4 / x) = 0
x = 4

lim x -> ∞  [  x^2 * ln ( 4/x ) ]
lim x -> [ x^2 ] = ∞
lim x -> [ ln ( 4/x ) ] = -∞
∞ *  ( - ∞ ) =  - ∞
lim x -> ∞  [  x^2 * ln ( 4/x ) ] = - ∞

exakte Art und Lage des Extremspunktes : Jetzt wirds schwierig.
Außer den bekannten Näherungsverfahren fällt mir nichts ein.

lim x -> 0+ [ f ´ ( x ) ] = 0

Weiter würde es wie Unknown beschrieben hat gehen. Aber die
Berechnung des Extrempunkts fehlt halt noch.

mfg Georg

Comments

Ich war frech und habe ihm unterstellt, dass es ihm nur um den letzten Teil ging.

Anmerkung:

Der Ableitung, bzw. Interpretation dieser, ist mit einem Vorzeichenwechsel beizukommen. Ist also auch eine schnelle Sache ;).

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@unknown
Die Ableitung bekomme ich hin und ist ja auch angegeben.
Die Frage ist : wann ist die Ableitung 0 ? was ergibt sich
als x ? Was gibt es für einen Lösungsweg ?

mfg Georg

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Achso, oder meintest Du schon bereits die Stelle? Da brauchts auch kein Näherungsverfahren ;).

 

Die Ableitung sei gegeben:

f'(x) = 2x*ln(4/x) - x = 0

x(2ln(4/x)-1) = 0

x₁ = 0

2ln(4/x) = 1    |/2

ln(4/x) = 1/2

4/x = e^{1/2}   |Kehrwert

x/4 = e^{-1/2}

x₂ = 4*e^{-1/2}

 

Und damit hat man auch die Stelle, wobei x = 0 natürlich nicht funzt.

--> Ausklammern ist Dein Freund^^.

 

Grüßle