Die vollständige Induktion. Beweisen Sie diese Gleichung!

Question

Stimmt mein Beweis? Hab es einfach mal versucht:

\( \sum \limits_{i=1}^{n} 1=\frac{n(n+1)}{2} \)

Für n = 1:

\( 1=\frac{1(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1 \)

\( \sum \limits_{i=1}^{n+1} i=\sum \limits_{i=1}^{n} i+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{2(n+1)}{2}=\frac{(n+2)(n+1)}{2} \)

\( = \frac{2(n+1)}{2}=\frac{2(n+1)}{2} \)

Hab dann nochmal am Ende versucht den zähler auszumultiplizieren und dann wieder auszuklammern umzugucken ob da das selbe raus kommt... und ich bin der Meinung JA.

Comments

Flüchtigkeitsfehler beim 3 Umformungsschritt ;) Am besten, du überprüfst deine Rechnung nach jeder Umformung nochmal. Vielleicht ist es auch hilfsreich, einmal aufzuschreiben, wie der Term eigentlich am Ende aussehen soll. Er sollte nämlich so aussehn:

$$\frac{ (n+1)( ( n + 1 ) + 1 ) }{ 2 }$$

Klar, wie Unknown sagt, bist du aber eigentlich schon bei der von ihm genannten Stelle fertig.

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ahso:)
und mir ist irgendwie aufgefallen, dass geht doch immer so:
n=1 oder 0 und dann kommt auf beiden seiten das selbe raus, also geht das und dann soll man doch noch für n+1 beweisen und dann gehts weiter mit n+2 und n+3? oder nicht?? (also das war mein gedanke also jetzt allgemein bei induktion)

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Man muss beweisen, dass es für eine natürliche Zahl m gilt, d.h. einfach einsetzen ( Induktionsanfang ). Und dann musst du zeigen, dass, wenn es für eine beliebige natürliche Zahl n gilt, es dann auch für n + 1 gilt. Das reicht dann schon, dann bist du fertig. Denn wenn es für die Zahl m gilt, also z.B. für die m=3. Und wenn es auch bei jeder Zahl n + 1 gilt, dann gilt es auch für 3+1, 4+1, 5+1, 6+1, ..., 10000+1, ..., 100000000000000000+1... Für alle natürlichen Zahlen gilt es dann, denn du hast ja keine spezielle natürliche Zahl n angenommen, sondern eine allgemeine Zahl.

Answer 1

Hi Emre,

wenn man die vorletzte Zeile nimmt und das vorletzte streicht (was ist das?), dann ists richtig.

Die letzte Zeile ist unverständlich. Was willste damit?


Grüße

Comments

meinst du das wo: 2(n+1)/2 = 2(n+1)/2 steht??
ich wollte damit einfach zeigen, dass diese gleichugen gleich sind?? :(

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Und wie kommste da drauf? Keine Gleichung sieht so aus :P.


Der letzte Eintrag der vorletzten Zeile ist doch die "neue" rechte Seite. Und Du hast die "neue" linke Seite dahin richtig umgeformt...das heißt es ist nicht ganz klar, wie Du da hingekommen bist, da der Zwischenschritt da nichts verloren hat.

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ich weiß es selber nicht :(
hab einfach geschrieben was das zeug in meinem kopf so enthält
..... anscheinend war das aber nicht ganz falsch....also bin ich nicht traurig:)

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Bring mal (im drittletzten Schritt) alles auf einen Nenner. Klammere dann einen sinnvollen Faktor aus ;).

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also in der vorletzen zeile?? den drittletzten schritt? ok mach ich mal:)

also ioch glaube du meinst 2(n+1)/2 oder?

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Genau. Also da hast Du den letzten Summanden auf den nötigen Nenner gebracht. Nun zusammenschreiben