Sorry. Irgendwie hab ich vorhin wohl gepennt beim Lesen. Also bei Brüchen sollte man zunächst eine Partialbruchzerlegung machen. Dazu zerlegt man den Nenner in die Nullstellen:
x^4 - 81 = (x^2 + 9)*(x^2 - 9) = (x^2 + 9)*(x + 3)*(x - 3)
Daher ist mein Ansatz
f(x) = 1/(x^4-81) = a/(x + 3) + b/(x - 3) + (cx + d)/(x^2 + 9)
= (a(x - 3)(x^2 + 9) + b(x + 3)(x^2 + 9)+ (cx + d)(x + 3)(x - 3)) / ((x + 3)(x - 3)(x^2 + 9))
= ((a·x^3 - 3·a·x^2 + 9·a·x - 27·a) + (b·x^3 + 3·b·x^2 + 9·b·x + 27·b) + (c·x^3 + d·x^2 - 9·c·x - 9·d)) / (x^4 - 81)
= (x^3·(a + b + c) - x^2·(3·a - 3·b - d) + x·(9·a + 9·b - 9·c) - 27·a + 27·b - 9·d) / (x^4 - 81)
a + b + c = 0
3·a - 3·b - d = 0
9·a + 9·b - 9·c = 0
- 27·a + 27·b - 9·d = 1
Lösung des LGS mit dem Additionsverfahren ergibt:
a = - 1/108 ∧ b = 1/108 ∧ c = 0 ∧ d = - 1/18
Daher ist die Partialbruchzerlegung
1/(x^4-81) = - 1/108/(x + 3) + 1/108/(x - 3) - 1/18/(x^2 + 9)
Davon ist es jetzt ein
Von den ersten beiden Summanden ist die Stammfunktion recht einfach zu ermitteln.
∫ - 1/108/(x + 3) dx = - ln(x + 3)/108
∫ 1/108/(x - 3) dx = ln(x - 3)/108
Bleibt also die Stammfunktion von 1/18/(x^2 + 9).
∫ - 1/18/(x^2 + 9) dx = - 1/162 * ∫ 1/(x^2/9 + 1) dx
Substitution u = x/3 und du = 1/3 dx
- 1/162 * ∫ 1/(x^2/9 + 1) dx = - 1/54 * ∫ 1/(u^2 + 1) du = - 1/54 * arctan(u) = - 1/54 * arctan(x/3)
Also lautet unsere Stammfunktion nach ein wenig Arbeit:
F(x) = ln(x - 3)/108 - ln(x + 3)/108 - 1/54 * arctan(x/3) + c
