Die von einem Baum fallenden Blätter werden vom Wind in alle Richtungen verweht

Question

ich habe folgende Aufgabe und hoffe das mir die einer in "verständlich" erklären kann :-)

die von einem Baum fallenden Blätter Werden vom Wind in alle Richtungen verweht. Die Wkt, im Abstand r vom Stamm ein Blatt zu finden, nimmt mit wachsendem r ab. Nehmen sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte der Form

f(r)= {1/μ*e hoch -r/μ, für r ≥ 0

f(r)= 0 für r <0    (Hinter f(r)= steht davon eine große { und die Daten beide dahinter)

an.

i) skizzieren sie die dichtefunktion mit einer mittleren Distanz von μ= 8 m

ii) bestimmen sie im Fall von i) die Wkt, dass ein Blatt innerhalb eines Kreises von r= 8m fällt.

iii) welcher Abstand eines Blattes zum Baum ist zu erwarten?
Kann mir diese Aufgabe einer verständlich erklären? Ich steh da im Moment auf dem Schlauch. Weis gar nicht was die von mir wollen.

vielen lieben Dank für eure Hilfe.

Answer 1

f ( r ) = ( 1 /  μ ) * e ^{- r / μ}  = 1 /  ( μ * e  ^{r / μ} ) für r ≥ 0

und f ( r ) = 0 sonst

ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, denn

f ( r ) ≥ 0 für alle x ∈ R und _-≈∫^∞ f ( r ) dr = 1

zu a)

Für μ = 8 ist  f ( r ) = 1 /  ( 8 * e  ^{r / 8} ). Ihr Graph sieht so aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F8%29e^%28-r%2F8%29+from+0+to+30

 

zu b)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit P ( R ≤ 8 ) ist gleich dem Integral von -∞ bis 8 über die
Wahrscheinlichkeitsdichte f ( x ) , also:

P ( R ≤ 8 ) =_-∞∫⁸ f ( r )  dr

wegen f ( r ) = 0 für r < 0 :

=₀∫⁸ f ( r ) dr

= ₀∫⁸ 1 /  ( 8 * e  ^{r / 8} ) dr

= [ - e^{- r / 8} ] ₀⁸

= ( - e ^{- 1} ) - ( - e ⁰ )

= ( - e ^{- 1} ) + 1

= 1 - ( 1 / e )

≈ 0,632 = 63,2 %

 

zu c )

Der Erwartungswert von R ist:

E ( R ) =_-∞∫^∞ r ( f ( r ) dr

wegen f ( r ) = 0 für r < 0 :

=₀∫^∞ r ( f ( r ) dr

=₀∫^∞ r / ( μ * e ^{r / μ} ) dr

= [ - e ^{- r / μ} ( μ + r ) ]₀^∞

= 0 - ( - μ )

= μ

Comments

Toll erklärt. Warum können das nicht alle so. Danke