Aufgabe:
Es seien \( R \) ein Ring und \( n \in \mathbb{N} \). Betrachte das \( n \)-fache kartesische Produkt
\( R^{n}=\left\{\left(r_{1}, \ldots, r_{n}\right) \mid r_{i} \in R \text { für alle } 1 \leq i \leq n\right\} \)
Auf \( R^{n} \) definieren wir Addition und Multiplikation komponentenweise:
\( \begin{aligned} +: R^{n} \times R^{n} \rightarrow R^{n}, &\left(\left(r_{1}, \ldots, r_{n}\right),\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right)\right) & \mapsto\left(r_{1}+s_{1}, \ldots r_{n}+s_{n}\right) \\ \cdot: R^{n} \times R^{n} \rightarrow R^{n}, \quad\left(\left(r_{1}, \ldots, r_{n}\right),\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right)\right) & \mapsto\left(r_{1} \cdot s_{1}, \ldots r_{n} \cdot s_{n}\right) \end{aligned} \)
a) Zeige, dass \( R^{n} \) mit obigen Verknüpfungen ein Ring ist.
b) Gib jeweils ein Beispiel für Ringe der Form \( R^{n} \) (d.h. man wähle geeignete \( R \) und \( n \) ), so dass \( R^{n} \) Nullteiler besitzt, bzw. nullteilerfrei ist.
c) Welche Bedingungen muss man an \( R \) und \( n \) stellen, so daß \( R^{n} \) nullteilerfrei ist?
d) Man betrachte die Menge \( M=\{1, \ldots, n\} \). Dann können wir jedem \( \underline{r}=\left(r_{1}, \ldots, r_{n}\right) \in \) \( R^{n} \) eine Abbildung \( \phi_{r}: M \rightarrow R, i \mapsto r_{i} \) zuordnen. Zeige, dass die durch diese Zuordnung definierte Abbildung ein Ringisomorphismus von \( R^{n} \) nach \( R^{M} \) ist.
