Ableitungen einer Funktion mit Bruch und Wurzel aus x: f(x)=(x-1)/√x

Question

Wie leite ich folgende Funktion ab:

f(x)= (x-1) /√x ?

Wenn diese umgestellt wird, kommt Folgendes raus f(x)= √x - 1/√x

Woher kommt die zweite Wurzel?

Answer 1

Du kannst es auch so sehen:

\( \frac{1}{\sqrt{x}} ·(x-1)=\frac{1}{\sqrt{x}} · x+\frac{1}{\sqrt{x}} ·(-1)=\frac{x}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{x^{\prime}}{x^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{\sqrt{x}} \)

\( =x^{1 - \frac{1}{2}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \)

Also das nur zur Umformung der Funktion. Abgeleitet ist hier noch nichts.

Answer 2

Die Funktion kann man ableiten:

f(x)=x-1/√x

| man kann die wurzel auch als potenz schreiben f(x) =1/√x   ⇔x^-1/2

| dann ist f´(x)= -1/2 *x^-1/2-1 =-1/2√x³

f´(x) = 1+1/2√x³

Wenn die Funktion so ist f(x)=(x-1)/√x, dann ist die Ableitung f´(x)=(x-1)/2√x³.

Answer 3

Ich forme f(x) mal etwas um:

$$ \frac { x-1 }{ \sqrt { x }  } =\frac { (x-1)\sqrt { x }  }{ \sqrt { x } \sqrt { x }  } \\ =\frac { x\sqrt { x } -\sqrt { x }  }{ x } =\frac { x\sqrt { x }  }{ x } -\frac { \sqrt { x }  }{ x } \\ = \sqrt { x } -\frac { 1 }{ \sqrt { x }  } ={ x }^{ 0.5}-{ x }^{ -0.5 } $$

Wenn du ableiten willst, ist es am einfachsten, wenn du statt Wurzeln gebrochene Exponenten benutzt.

Dann kannst du die Ableitungsregeln für x^k anwenden.

f(x) = x^0.5 - x^-0.5

f '(x) = 0.5* x^{-0.5} + 0.5 x^{-1.5}

Zurück in Wurzelschreibweise als Summe von 2 Brüchen:

f ' (x) = 1 /(2*√x) + 1/(2*x√x)

Comments

Wie kommst du auf die zwei neue Wurzel die multipliziert werden?

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Ich weiss nicht, wo dir die 2 Wurzeln nicht klar sind.

Gleich in der ersten Zeile, ist das ein Trick, mit dem man die Wurzel im Nenner wegbringt. Das ist ein Erweitern mit der Wurzel, die man unten weghaben will. Hier: √x.

Wurzel ziehen ist die Umkehrung von Quadrieren.

Du hast im Nenner ja √x *√x = (√x)^2 und das ist halt wieder x.

Wie z.B.(√16)^2 = 4^2 = 16.

(√2) ^2 = 2…

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Aha das habe ich jetzt auch verstanden. Aber noch zum schluss verstehe ich nicht wie du auf die eins durch die wurzel x kommst ! Das die zwei x sich wegkürzen ist mir klar aber wie kommst du auf die minus 1 durch...?

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Das ist das Gegenteil von dem, was ich dir eben erklärt habe. √x kann man dann wieder wegkürzen.

√x / x = √x / (√x)^2 = √x / (√x * √x) = 1/ √x

Schau dir deine Arithmetik- und Algebra-Unterlagen oder eventl. ein Video zum Rechnen mit Wurzeln und zum Umgang mit Brüchen nochmals an. In der Schule kommt so was nicht mehr vor, wenn ihr jetzt schon am Ableiten seid.

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Ich verstehe immer noch nicht, warum du die zweite x oder Wurzel quadrierst, dann musst du doch im Zähler das gleiche machen oder?

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wie du auf die eins durch die wurzel x kommst

Dies zeigt es dir:

$$ \frac { \sqrt { x }  }{ x }  = \frac { \sqrt { x } · \color{#00F}{\sqrt { x }}  }{ x· \color{#00F}{\sqrt { x }}  } = \frac { x }{ x · \color{#00F}{\sqrt { x }}  }  = \frac { 1 }{ 1· \color{#00F}{\sqrt { x }}  }  = \frac { 1 }{ \sqrt { x }  } $$