Logarithmische Differentiation bestimmen

Question

 

wenn ich eine Funktion wie f(x) = x^2x ableiten möchte muss ich ja die logarithmische Differentiation anwenden, da ich sowohl in der Basis als auch in dem Exponenten mein x habe. Kurz gesagt, ich muss zuvor erst einmal logarithmieren. Kann ich hier so vorgehen:

y= x^2x I ln

ln(y)= 2xln(x)

Nun ist 2xln(x) ja schon meine logarithmierte Funktion und ich kann diese mit  Hilfe der produkt und Kettenregel ableiten. Jedoch habe ich ja noch mein ln(y) auf der linken Seite. Was geschieht nun damit?

Answer 1

Hier muss man sich zunutze machen, dass man Funktionen findet, die leicht ableitbar sind. Dazu muss man f(x) umformen

x^2x kann man auch schreiben als (e^ln(x))^2x, da e^ln(x) = x ist.

f(x) = (e^ln(x))^2x = e^2x*ln(x)

Hier muss man jetzt Ketten- und Produktregel anwenden:

Für Produktregel: u = 2x -> u' = 2 und v = ln(x) -> v' = 1/x

f'(x) = e^2x*ln(x) *(2x/x + 2*ln(x)) = 2*e^2x*ln(x) *(1 + ln(x)) = 2*(e^ln(x))^2x *(1 + ln(x)) = 2*(x)^2x *(1 + ln(x))

Comments

Hm, mein Lösungsweg wäre also falsch? Irgendwie käme ich damit besser klar, wenn ich das Ganze wie eine Gleichung behandeln könnte und auf beiden seiten den ln bilden kann. 

So wie hier gezeigt: http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Vassilevskaya/download/m1/diff-r/ableitung/log-ableitung-1.pdf

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nein falsch ist es nicht, nur vielleicht etwas umständlich

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ln(y)= 2x*ln(x) Beide Seiten ableiten

y'/y = 2*(ln(x) + 1)  | *y

y' =  2*(ln(x) + 1) *y

Mit y = x^2x folgt y' =  2*(ln(x) + 1) *x^2x

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Okay, danke. Ich habe gerade zur Probe mal e^2x*ln(x) abgeleitet und komme auf e^2x*ln(x)*2ln(x)+2

Entspricht das deiner obigen Lösung?

Ich habe 2x*ln(x) mit der produktregel abgeleitet und komme auf 2ln(x)+2, was ich dann noch mit der Ausgangsfunktion multipliziere. 

Nach der Produktregel komme ich also auf: 2*ln(x)+2x*1/x, was zusammengefasst ja 2ln(x)+2 sind,da ich bei 2x*1/x doch das x kürzen kann und so auf 2ln(x)+2 komme..

Vielen Dank für Eure Hilfe :)

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 Ich habe gerade zur Probe mal e^2x*ln(x) abgeleitet und komme auf e^2x*ln(x)*(2ln(x)+2)

Answer 2

Hi,

\( x^{2x} \) kann man schreiben als \( x^{2x}=e^{2x \cdot ln(x)} \) jetzt einfach die e-Funktion ableiten und den Exponenten nach der Produktregel nachdifferenzieren ergibt \( 2 \cdot x^{2x} \cdot (ln(x)+1) \)

Answer 3

Nun, du musst auch die linke Seite formal ableiten, also:

$$f(x)={ x }^{ 2x }$$$$\Leftrightarrow log(f(x))=log({ x }^{ 2x })=2x(log(x))$$Beide Seiten ableiten:$$\Rightarrow$$$$[log(f(x))]'=[2x(log(x))]'$$Linke Seite: formale Kettenregel, rechte Seite:Produktregel:$$\Leftrightarrow f'(x)*\frac { 1 }{ f(x) } =2log(x)+2x\frac { 1 }{ x } =2(log(x)+1)$$Nach f ' ( x ) auflösen, dazu mit f ( x ) multiplizieren:$$\Leftrightarrow f'(x)=2(log(x)+1)*f(x)$$f ( x ) durch den Funktionsterm ersetzen:$$\Leftrightarrow f'(x)=2(log(x)+1){ x }^{ 2x }$$

Comments

Da lag also der Fehler, ich habe die linke seite nicht abgeleitet, verstehe :)

Um nochmal auf die Ableitung der rechten seite zurückzukommen: e^2x*ln(x)*2ln(x)+2. Die zwei auf der rechten Seite kann ich ja noch ausklammern, sodass ich auf e^2x*ln(x)*2(ln(x)+1) komme. Ist das soweit korrekt abgeleitet? Ich habe leider Schwierigkeiten zu erkennen, ob das Eurer Lösung der rechten Seite entspricht.

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Ja, denn

e^2x*ln(x) = ( e ^{ln (x)} ) ^2x = x ^2x

Da du aber mit der logarithmischen Differentiation arbeiten willst / sollst, solltest du die Funktion f ( x ) = x ^2x gar nicht erst durch die entsprechende Darstellung aus Exponential- und Logarithmusfunktion ersetzen (wie es die anderen Antworter vorgeschlagen haben), sondern es so machen, wie ich es in meiner Antwort gezeigt habe.

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In Ordnung, vielen dank und ein schönes Wochenende

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Nun habe ich doch nochmal zwei Fragen zu diesem Thema

Wie leite ich xln(3) korrekt ab? Wäre die richtige Ableitung hierzu ln(3)? Ich habe mit der Produktregel abgeleitet und bin auf 1*ln(3)+0*1 gekommen = ln(3)

 

Hintergrunde ist, dass ich y=3^x ableiten möchte.

Als Ergebnis erhalte ich f'(x)=ln(3)*3

 

Wann genau ist eine log. Dfferentiation eigentlich notwendig? Ich dachte nur, wenn sowohl in der Basis als auch im Exponenten ein x vorkommt. 

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f'(x)=ln(3)*3^x ist mein Ergebnis

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In dem Term

x * ln ( 3 )

ist ln ( 3 ) eine Konstante, also gilt ganz einfach nach Potenzregel:

[ ln ( 3 ) * x ¹ ] ' = 1 * ln ( 3 ) * x ⁰ = ln ( 3 )

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Okay, wenn ich bei 3^x+2 den ln bilde, würde das umgeschrieben doch (x+2) ln(3) heißen, da ich doch laut der ln Regel den kompletten exponenten vor den ln ziehe. Hier wiederum ist ln(3) meine Konstante, sodass ich nur x+2 ableiten muss? 

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Hat sich erledigt, bin selber drauf gekommen :)

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Okay, wenn ich bei 3^x+2 den ln bilde, würde das umgeschrieben doch (x+2) ln(3) heißen,

Richtig, aber das ist nicht gleich f ( x ) sondern gleich ln ( f ( x ) )

Wie man das ableitet, habe ich in meiner Antwort erklärt ... hier noch einmal kurz zusammengefasst :

f ( x ) = 3 ^{x + 2} 

<=> ln ( f ( x ) = ( x + 2 ) ln ( 3 )

<=> [ ln ( f ( x ) ] ' = [( x + 2 ) ln ( 3 ) ] '

<=> f ' ( x ) * 1 / f ( x ) = ln ( 3 )

<=> f ' ( x ) = ln ( 3 ) * f ( x )

<=> f ' ( x ) = ln ( 3 ) * 3 ^{x + 2}