Abnahmegesetz erstellen und angeben

Question

Hallo :)

 

folgende Fragestellung:

 

Die Intensität I der in der Medizin verwendeten Laserstrahlen nimmt mit der Eindringtiefe in das Gewebe exponentiell ab. In 8 mm Tiefe ist sie auf 20 % des Ausgangswertes I₀  gesunken.
Gib das Abnahmegesetz an.

 

Ich hab mir das mal so gedacht:
Die Funktion hat die Form I(x) = c * a^x

also berechne ich a folgendermaßen: 0,2* I₀ = I₀ * a⁸

daraus folgt a = 0,8177
Passt das bis dahin? Aber wie komme ich auf I₀ ?

Answer 1

Alles, was du bisher gerechnet hast, ist korrekt.

Das Abnahmegesetz lautet also:

I ( x ) = I₀ * ( ⁸√ ( 0,2 ) ) ^x

Fertig.

Wozu brauchst du I₀ ?

I₀ist irgendeine beliebige Konstante, die im Anwendungsfall vom verwendeten Lasergerät bzw. dessen Einstellung abhängt. Wenn man mit Hilfe dieses Gesetzes den Wert I ( x ) ermitteln will, dann muss man den Wert von I₀ natürlich kennen. Aber dann kennt man den in der Regel auch  (z.B. aus dem Handbuch zu dem Gerät bzw. aus einer Anzeige am Gerät). Für das Gesetz selbst aber ist die Kenntnis eines bestimmten Wertes von I₀ nicht erforderlich.

Comments

Hallo :)

erstmal danke für die schnelle Antwort :)

Es gibt auch noch Unterpunkte zur Frage:

b) Um wie viel Prozent(von I₀) ist I in einer Tiefe von 3 mm gesunken?
c) In welcher Tiefe ist 90 % von I₀ zerfallen?

brauch ich hierfür keinen Wert für I₀?

---

Intensität nach 3mm = a^3 = 0,5469 = 54,69 % sind "zerfallen". 100%-54,69% = 55,31 % geträgt die Abnahme.

c)

0,9* I_0 = I_0* a^x

x = ln0,9/lna = ...

---

brauch ich hierfür keinen Wert für I₀?

Nein, den brauchst du nicht, weil es für die Beantwortung dieser Fragen nicht auf den Wert von I₀ ankommt, wie folgende Rechnung zeigt:

b) Um wie viel Prozent(von I₀) ist I in einer Tiefe von 3 mm gesunken?

Prozentwert = I ( 3 ) / I₀

=  I₀ * ( ⁸√ ( 0,2 ) ) ³ / I₀

Hier kürzt sich nun I₀ heraus:

= ( ⁸√ ( 0,2 ) ) ³

≈ 0,547

= 54,7 %

Wie du siehst, gilt: Egal, wie hoch die Anfangsintensität I₀ auch ist - in 3 mm Tiefe beträgt sie nur noch etwa 54,7 % Prozent, ist also um 100 % - 54,7 % = 46,3 % von I₀ gesunken

 

c) In welcher Tiefe ist 90 % von I₀ zerfallen?

I ( x ) = 0,1 * I₀

<=>  I₀ * ( ⁸√ ( 0,2 ) ) ^x = 0,1 * I₀

Wieder kürzt sich I₀ heraus:

<=> ( ⁸√ ( 0,2 ) ) ^x = 0,1

<=> x * log ( ⁸√ ( 0,2 ) ) = log ( 0,1 )

<=> x = log ( 0,1 ) / log ( ⁸√ ( 0,2 ) )

<=> x ≈ 11,45 mm

---

@ gast eh65:

100%-54,69% = 55,31 %

Bitte nachrechnen ...

c)
0,9* I_0 = I_0* a^x

Damit berechnest du, in welcher Tiefe die Intensität noch 90 % der ursprünglichen Intensität beträgt. Die Fragestellung lautete jedoch, in welcher Tiefe 90 % der ursprünglichen Intensität "zerfallen" sind, in welcher Tiefe also noch 10 % der ursprünglichen Intensität vorhanden ist.

---

Danke, Jotes. Ich hab nicht  aufgepasst. :))

---

Kann passieren :-)

Ich hatte zunächst auch nicht richtig aufgepasst und bei Aufgabenteil b) zunächst das Wörtchen um übersehen. Statt dessen hatte ich zunächst nur berechnet, auf wieviel Prozent die Intensität gesunken ist.
Erst dein Beitrag hat mich auf diesen Umstand aufmerksam gemacht. An dieser Stelle hast also DU besser aufgepasst :-)

---

Manus manum (inscia) lavat. :))

Answer 2

Der Abnahmefaktor beträgt

a = 0,8177

oder in Prozent

18.33 % Abnahme pro mm Eindringtiefe.

Jetzt kommt es nur noch auf die Ausgangsintensität
an um die Intensität in einer bestimmten Tiefe zu ermitteln.

Eine Aufgabe, falls du Lust hast diese zu rechnen :

Zur Bekämpfung eines Tumors der sich in 6 mm im Stirnlappen
befindet werden 280 milliSievert α-Strahlung benötigt.
Berechne die erforderliche Ausgangsstrahlung.

mfg Georg

Nachtrag : da die Aufgabe wohl keiner lösen will, löse ich selbst.

I ( t ) = I0 * a^t
t = 6
I ( 6 ) = 280
a = 0.8177
I ( 6 ) = I0 * 0.8177^6 = 280
I0 = 936.7 milliSievert