Ich kann dir eine elegante Lösung "mit dem kleinen Kniff" anbieten.
A und B seien die beiden Spieler, und A soll den ersten Wurf haben. Ferner seien P(A) und P(B) die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beiden Spieler bei diesem Spiel, das sich theoretisch sehr in die Länge ziehen könnte, wenn der erste "Kopf"-Wurf lange auf sich warten lässt. Bezeichnen wir ferner die Gewinnwahrscheinlichkeit des ersten Spielers mit x , also: x:=P(A) .
Nun verfolgen wir den Anfang des Spiels: A wirft die Münze zum ersten Mal. Dabei gibt es zwei gleichwahrscheinliche Möglichkeiten, nämlich: entweder wirft A "Kopf" und hat schon gewonnen, oder aber er wirft "Zahl", und Spieler B ist am Zug. In diesem zweiten Fall steht B in der gleichen Situation wie der Spieler A vor dem ersten Wurf: die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass B nun das gesamte Spiel gewinnen wird, ist gleich x. Somit muss die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A nach einem ersten "Zahl"-Wurf trotzdem noch Gesamtsieger wird, gleich 1-x sein.
Für die Gewinnwahrscheinlichkeit x des Spielers A ergibt sich deshalb die Gleichung:
$$ x = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (1-x) $$
Diese Gleichung lässt sich nun leicht nach der gesuchten Wahrscheinlichkeit x = P(A) auflösen.
