Eigenschaften von Funktionen mit ln

Question

Hallo liebe Forenmitglieder,

ich habe mal eine Frage zu einer Aufgabe in Mathematik bezüglich der ln - Funktionen und zwar ist folgende Aufgabe mein Problem:

Gegeben ist die reelle Funktion h(x) mit, es ist nur bekannt, dass h gleich ln(g(x)) ist. Über g wissen wir, dass es eine quadratische Funktion ist, deren Graph eine nach oben geöffnete Parabel ist, die zwei verschiedene Schnittpunkte mit der x - Achse hat.

Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen korrekt sind und begründen Sie Ihre Aussagen:

a) Für die Definitionsmenge gilt: D = IR.

b) Die Funktion h besitzt genau zwei Nullstellen

c) Der Graph von h besitzt genau einen Extrempunkt.

Könnt ihr mir dazu bitte helfen?

Dankeschön.

Answer 1

a) Für die Definitionsmenge gilt: D = IR.

falsch. Da die Parabel 2 verschiedene Nullstellen hat verläuft ein Teil der Parabel im negativen y-Bereich. Negative Werte dürfen aber nicht im LN stehen.

b) Die Funktion h besitzt genau zwei Nullstellen

Richtig. Der LN wird Null wenn das Argument 1 ist und den Funktionswert 1 sollte unsere Parabel genau 2 mal annehmen.

c) Der Graph von h besitzt genau einen Extrempunkt.

Falsch.

Für lim g(x) → 0 geht der LN gegen negativ unendlich.

Für lim g(x) → ∞ geht der LN auch gegen unendlich.

Damit hat h(x) keine Schranken.

Answer 2

Nehmen wir mal die einfachste Form für g(x) her und zwar g(x) = x² -1

-> h(x) = ln (x² -1)

zu a)

ln(0) ist nicht definiert -> x² -1 muss größer als Null sein ->Daraus ergeben sich Bereiche, die nicht für den ln definiert sind.

Insofern ist die Funktion nicht über alle |R definiert

zu b)

0 =  ln (x² -1)   | e^x

1 =  (x² -1) -> x_1/2 = ±√2

-> Es existieren zwei Nullstellen.

zu c)

h'(x) = (1/(x² -1)) * 2x = 0 (notwendiges Kriterium für ein Extrema)

-> x _E = 0

Es existiert ein Extremum. Scheint mir etwas komisch zu sein, wenn ich mir den Graphen anschaue ...

Comments

Scheint mir etwas komisch zu sein

 

Selten so gelacht.

Aber mehr über diese Antwort als über den Graphen

---

Ja gelacht habe ich jetzt auch

denn für x=0 ist die Funktion nicht definiert, so dass kein Extremum da nicht sein kann g

---

Ja gelacht habe ich jetzt auch

denn für x=0 ist die Funktion nicht definiert, so dass ein Extremum da nicht sein kann g