Question

Berechnen Sie die Fläche, die durch die beiden Funktionen f(x) und g(x) eingeschlossen wird:

 

f(x)= x³   ;    g(x)= x

Answer 1

d(x) = g(x) - f(x) = x - x^3

D(x) = 1/2*x^2 - 1/4*x^4

Nullstellen

d(x) = 0
x - x^3 = 0
x(1 - x^2) = 0

x = 0 und x = +- 1

∫ von 0 bis 1 über d(x) dx = D(1) - D(0) = 1/4 - 0 = 1/4

Allerdings haben wir symmetrisch noch eine genau so große Fläche. Daher ist die Gesamtfläche

A = 2 * 1/4 = 1/2

Skizze:

Comments

Muss man die Nullstellen hier bestimmen oder kann man es auch weglassen?

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Ich versteh nicht wie man auf x(1 - x^2) = 0 und x = 0 und x = +- 1 kommt.

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Man muss die Nullstellen bestimmen, damit du weißt, wo sich die Funktionen schneiden. Den nur zwischen den Schnittpunkten werden Flächen eingeschlossen.

x - x^3 = 0

Hier kann man auf der Linken Seite aus jedem Summanden ein x ausklammern.

x(1 - x^2) = 0

Das siehst du, wenn du die linke Seite jetzt ausmultiplizierst. Dort sollte der obige Term herauskommen.

Jetzt steht links ein Produkt welches Null wird. Dann gilt der Satz vom Nullprodukt, welcher besagt, dass ein Produkt Null wird, wenn ein Faktor Null wird.

Es kann also das vordere x Null werden: x = 0

Oder es kann die Klammer Null werden. Es ist sicher offensichtlich, dass die Klammer Null wird, wenn man für x plus eins oder minus eins einsetzt.

Daher sind die Lösungen

x = 0 und x = +- 1