Wie löse ich diese Gleichungssysteme mit der Unbekannten k?

Question

(a) Für welche Werte von \( k \) hat das Gleichungssystem

\( \begin{array}{l} 2 x+k y=5 \\ k x+8 y=10 \end{array} \)

genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen?

(b) Für welche Werte von \( k \) hat das Gleichungssystem

\( \begin{array}{r} x+y+z=1 \\ 2 x+3 y+k z=3 \\ 2 x+k y+3 z=2 \end{array} \)

genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen?

(c) Welche Bedingungen müssen \( a . b . c \) erfüllen, damit das lineare Gleichungssystem

\( \begin{array}{c} x+2 y-3 z=a \\ 2 x+6 y-11 z=b \\ x-2 y+7 z=c \end{array} \)

lösbar ist?

Wie löse ich diese Gleichungssysteme mit der Unbekannten k?

Answer 1

a) 

DET([2, k; k, 8]) = 2·8 - k^2 = 0
k = -4 ∨ k = 4

Für k = 4 gibt es unendlich viele Lösungen, für k = -4 gibt es keine Lösung. Für alle anderen k gibt es genau eine Lösung.

 

b)

DET([1, 1, 1; 2, 3, k; 2, k, 3]) = - k^2 + 4·k - 3 = 0
k = 3 ∨ k = 1

Du kannst jetzt ja mal selber untersuchen was bei 3 passiert und was bei 1 passiert.

 

c)

x + 2·y - 3·z = a
2·x + 6·y - 11·z = b
x - 2·y + 7·z = c

II - 2*I, III - I

2·y - 5·z = b - 2·a
10·z - 4·y = c - a

2*I + II
0 = - 5·a + 2·b + c

Die Rechte Seite muss auch 0 ergeben damit das LGS lösbar ist und unendlich viele Lösungen hat. Ist die rechte Seite ungleich 0 gibt es keine Lösung.

Comments

Wie komme ich darauf ob es eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat?

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Du schaust einfach nach den Werten für k bei der der linke Teil der Gleichung linear abhängig ist. Das kann man mit dem Gaus oder der Determinante machen.
Dann schaust du für die ermittelten Werte ob das Gleichungssystem immer noch linear abhängig ist. Dann gibt es unendlich viele Lösungen oder ob es dann nicht mehr abhängig ist dann gibt es keine Lösung.