Zelt hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide. Die Grundkante ist a=3m und die Höhe h=6m.

Question

Ein Zelt hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide. Die Grundkante ist a=3m  und die Höhe h=6m.

Wie viel m² Zeltbahn waren zur Herstellung des Zeltes, das mit einem Gummiboden ausgestattet ist nötig?

Die Seitenkanten des Zeltes sind mit einem Spezialband verstärkt. Wie viele m dieses Bandes wurden verwendet?

Comments

Hier findest du eine sehr schöne Skizze: https://www.mathelounge.de/2749/dach-eines-kirchturms-hat-form-einer-quadratischen-pyramide

Vielleicht kannst du so schon einen Teil der Frage selbst ausrechnen?

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Jetzt eine eigenständige Antwort.

Answer 1

Gemäß dem Satz des Pythagoras gilt für die Höhe h_S der Seitenflächen der Pyramide:

h_S² = h ² + ( a / 2 ) ²

<=> h_S = √ ( h ² + ( a / 2 ) ² )

 

Mit h = 6 m und a = 3 m ergibt sich daraus:

h_S = √ ( 6 ² + ( 3 / 2 ) ² )

= √ ( 36 + 2,25 )

= √ ( 38,25 )

≈ 6,18 m

 

Damit ergibt sich für den Flächeninhalt A einer der vier Seitenflächen:

A = a * h_S / 2

= 3 * √ ( 38,25 ) / 2

und daraus der Flächeninhalt M aller vier Seitenflächen (also der Mantelflächeninhalt der Pyramide)

M = 4 * A

= 4 * 3 * √ ( 38,25 ) / 2

≈ 37,1 m ²

 

Zur Berechnung der erforderlichen Länge des Spezialbandes muss die Summe der Längen der vier Seitenkanten der Pyramide berechnet werden, diese ist gleich dem Vierfahcen der Länge s einer der Seitenkanten.

Nach Pythagoras gilt:

s ² = h_S² + ( a / 2 ) ²

<=>

s = √ (  h_S² + ( a / 2 ) ² )

 

Mit h_S² = 38,25 und a = 3 m ergibt sich daraus:

s = √ (  38,25 + ( 3 / 2 ) ² )

= √ ( 41 )

≈ 6,40 m

 

Alle 4 Seitenkanten sind insgesamt

s_g = 4 * s = 4 * √ ( 41 ) ≈ 25,6 m

lang. Also wind ebensoviel Meter des Spezialbandes erforderlich.

Answer 2

M = 2·a·√((a/2)² + h²) = 2·(3)·√(((3)/2)² + (6)²) = 37.11 m²

G = a² = (3)² = 9 m²

4·s = 4·√((a/2)² + (a/2)² + h²) = 4·√(((3)/2)² + ((3)/2)² + (6)²) = 25.46 m