Koordinaten des Punktes S angeben. Wann erreichen die beiden Boote den Punkt S?

Question

Die Wege zweier Boote können durch die Gleichungen -> = (44 | 20) + t * (4|10) und   -> = t * (8|5)
                                                                                                      x                                                  x

beschrieben werden. Hierbei wird ihre Fahrzeit t in Stunden gemessen.

Zur Zeit t = 0 befindet sich das Boot I an dem Punkt P (44 | 20) und Boot II im Hafen.

a) Geben Sie die Koordinaten des Punktes an, an dem sich das Boot II im Hafen befindet.

b) Geben Sie die Koordinaten des Punktes S an, in dem sich die Wege der Boote schneiden.

Wann erreichen die beiden Boote diesen Punkt S? Wie weit ist der Punkt S vom Hafen entfernt?

Answer 1

a )

( x | y )  =  t ( 8 | 5 )

Für t = 0 :

( x | y ) = 0 * ( 8 | 5 ) = ( 0 | 0 )

 

b)

( 44 | 20 ) + t₁ * ( 4 | 10 ) =  t₂ ( 8 | 5 )

<=>

44 + 4 t₁ = 8 t₂
20 + 10 t₁ = 5 t₂

<=>

220 + 20 t₁ = 40 t₂ 
40 + 20 t₁ = 10 t₂

Subtraktionsverfahren:

<=>

180 = 30 t₂
40 + 20 t₁ = 10 t₂

<=>

t₂ = 6
40 + 20 t₁ = 60

<=>

t₂ = 6
20 t₁ = 20

<=>

t₂ = 6
t₁ = 1

Der gemeinsame Punkt wird also von Boot 1 nach t₁ = 1 Stunde und von Boot 2 nach t₂ = 6 Stunden erreicht.

Dieser Punkt S hat die Koordinaten:

Boot 1:

( x | y ) = ( 44 | 20 ) + 1 * ( 4 |10 ) = ( 48 | 30 ) 

Boot 2:

( x | y ) = 6 * ( 8 | 5 ) = ( 48 | 30 )

 

Die Entfernung D des Punktes S ( 48 | 30 ) vom Hafen ( 0 | 0 ) beträgt: 

D = √ ( ( 48 - 0 ) ² + ( 30 - 0 ) ² ) = √ ( 48 ² + 30 ² ) ≈ 56,60 km

Comments

woher weiß ich, dass ich t = 1 der punkt für boot 1 ist und t = 6 für boot 2 ?

also warum setze ich die so ein und nicht andersrum?

ich habe übrigens t1= t genannt und t2 = r


Vielen Dank schonmal

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woher weiß ich, dass ich t = 1 der punkt für boot 1 ist und t = 6 für boot 2 ?

Nun, weil ich es so angesetzt habe.

In der Ansatzgleichung

( 44 | 20 ) + t₁ * ( 4 | 10 ) =  t₂ ( 8 | 5 )

gibt t₁ an wieviele Stunden sich Boot 1 von seinem Ausgangspunkt ( 44 | 20 ) in Richtung seines Richtungsvektors ( 4 |10 ) bewegt und t₂ gibt an, wieviele Stunden sich Boot 2 von seinem Ausgangspunkt ( 0 | 0 )  in Richtung seines Richtungsvektors ( 8 | 5 ) bewegt. Also gehört t₁ zu Boot 1 und t₂ zu Boot 2.