Kurvendiskussion: Wendepunkte und Wendetangente

Question

f(x) = 0,5x³-4,5x²+12x-9

a)Zeige das der Graph den Wendepunkt W(3|0) besitzt.

b)Bestimmen sie eine Gleichung der Wendetangente an den Graphen!

 

c)

Richtig oder Falsch + Begründung

A Graph der Ableitung f´ fällt für x > 3.

Funktionswerte der Ableitung sind nie kleiner als - 1,5.

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Answer 1

f(x) = 0,5x³-4,5x²+12x-9

a)Zeige das der Graph den Wendepunkt W(3|0) besitzt.
b)Bestimmen sie eine Gleichung der Wendetangente an den Graphen!

f ( x ) = 0,5 * x³ - 4.5 * x² + 12 * x - 9
f ´( x ) = 1.5 * x^2 - 9 * x + 12
f ´´ ( x ) = 3 * x - 9
Wendepunkt
3 * x - 9 = 0
x = 3
f ( 3 ) = 13.5 - 40.5 * x + 36 - 9
f ( 3 ) = 0
W ( 3  | 0 )

b.)
Steigung der Wendetangente
f ´( 3 ) = 1.5 * 9 - 9 * 3 + 12
f ´ ( 3 ) = -1.5

f ( 3 ) = 0
0 = -1.5 * 3 + b
b = 4.5
Wendetangente
t ( x ) = -1.5 * x + 4.5

c) Richtig oder Falsch + Begründung

A Graph der Ableitung f´ fällt für x > 3.
Extrempunkte
f ´( x ) = 1.5 * x^2 - 9 * x + 12
1.5 * x^2 - 9 * x + 12 = 0  | quadratische Ergänzung
x^2  - 6 * x + 8 = 0
x^2 - 6 * x + 3^2 = -8 + 9
( x - 3 )^2 = 1
x -3 = ± 1
x = 4
x = 2
Art der Extrempunkte
2.Ableitung
f ´´ ( x ) = 3 * x - 9
f ´´ ( 2) = 3 * 2 - 9 = -3 ( Hochpunkt )
f ´´ ( 4) = 3 * 4 - 9 =  3 ( Tiefpunkt )

Nach dem Tiefpunkt bei x = 4 steigt die
Funktion wieder.  Die Aussage
" Graph der Ableitung f´ fällt für x > 3." ist
falsch.

Funktionswerte der Ableitung sind nie kleiner als - 1,5.
f ´( x ) = 1.5 * x^2 - 9 * x + 12
Extrempunkte dieser Funktion wären die Nullpunkte
der Ableitung
f ´´ ( x ) = 3 * x - 9
3 * x - 9 = 0
x = 3 Wendepunkt
Die Steigung am Wendepunkt ist -1.5.
Die Ausage " Funktionswerte der Ableitung sind nie kleiner
als - 1,5. " stimmt.

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mfg Georg

Answer 2

a)

Prüfen des Funktionswertes:

f ( 3 ) = 0

Passt.

Prüfen der zweiten Ableitung - diese muss an der Stelle 3 den Wert 0 liefern:

f ' ' ( x ) = 3 x - 9

f ' ' ( 3 ) = 0

Passt.

Also ist W ( 3 |0 ) ein Wendepunkt.

 

b)

g ( x ) = f ' ( 3 ) * x + b = -1,5 x + b

Da der Wendepunkt W ( 3 | 0 ) zur Geraden gehören muss, muss gelten:

g ( 3 ) = 0

<=> - 1,5 * 3 + b = 0

<=> b = 4,5

Also:

g ( x ) =  - 1,5 x + 4,5

 

c)

Graph der Ableitung f´ fällt für x > 3

Falsch.

Da f an der Stelle x einen Wendepunkt hat, hat die quadratische Funktion f ' dort ihren Scheitelpunkt. Und da der Graph von f ' eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist dieser Scheitelpunkt eine Minimalstelle von f ' . Also fällt f ' für x > 3 nicht, sondern steigt.

Funktionswerte der Ableitung sind nie kleiner als - 1,5.

Richtig.

Der minimale Funktionswert von f ' liegt an ihrem Scheitelpunkt (Minimalstelle von f '), also an der Stelle x = 3 vor. Dort beträgt der Funktionswert von f ' :

f ' ( 3 ) = -1,5

Kleinere Funktonswerte als - 1,5 kann f ' daher nicht annehmen.