Ganzrationale Funktion 4ten Grades

Question

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter bzw. ich verstehe sie nicht. Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe: ______________________________ Bestimme eine ganzrationale Funktion vierten Grades, sodass für den Graphen der Funktion gilt:. . . . . . . . . . . Der Graph enthält den Punkt O (0|0), er hat an der Stelle 1 eine Tangente mit der Steigung 2, eine Wendestelle ist (Wurzel aus2)/2. . .. ( soll heißen Wurzel aus 2 durch 2). . .. . . Falls ihr noch Zeit habt, die Rechenschritte zu erklären würde mir das sehr weiterhelfen und freuen :-)  Mfg Replika

Answer 1

Allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion vierten Grades:

f ( x ) = a x ⁴ + b x ³ + c x ² + d x + e

Aufgabe: Bestimme eine (also irgendeine(!)) ganzrationale Funktion vierten Grades.

Da irgendeine ganzrationale Funktion vierten Grades bestimmt werden soll, kann man diejenige wählen, die symmetrisch zur y-Achse ist. Solche Funktionen dürfen nur gerade Potenzen von x enthalten, sodass bei dieser Wahl sofort folgt, dass die Parameter b und d der ungeraden Potenzen von x den Wert 0 haben.

 

Die Aufgabe reduziert sich also darauf, die Parameter a, c und e der Funktion

f ( x ) = a x ⁴ + c x ² + e

so zu bestimmen, dass für sie die angegebenen Bedingungen gelten, nämlich:

1) Der Graph enthält den Punkt O ( 0 | 0 )

Der Graph geht also durch den Ursprung. Daraus folgt sofort:

f ( 0 ) = 0

<=> a 0 ⁴ + b 0 ³ + c 0 ² + d 0 + e = 0

<=> e = 0

Somit ist der Wert des Parameters e bereits bestimmt und die Funktion ist somit auf die Form:

f ( x ) = a x ⁴ + c x ²

reduziert.

2 ) Der Graph hat an der Stelle 1 eine Tangente mit der Steigung 2

Es muss also gelten:

f ' ( 1 ) = 2

Es ist:

f ' ( x ) = 4 a x ³ + 2 c x

also:

f ' ( 1 ) = 2

<=> 4 a * 1 ³ + 2 c * 1 = 2 

<=> 4 a + 2 c = 2

<=> 2 a + c = 1

<=> c = 1 - 2 a

 

3 ) eine Wendestelle ist  (√ 2 ) / 2

Es muss also gelten:

f ' ' ( (√ 2 ) / 2 ) = 0

Es ist:

f ' ' ( x ) = 12 a x ² + 2 c

also:

f ' ' ( (√ 2 ) / 2 ) = 0

<=> 12 * a * ( (√ 2 ) / 2 ) ² + 2 c = 0

<=> 12 * a * ( 2 / 4 ) + 2 c = 0

<=> 6 a + 2 c = 0

Mit c = 1 - 2 a (siehe unter 2) ) ergibt sich:

<=> 6 a + 2 ( 1 - 2 a ) = 0

<=> 6 a + 2 - 4 a = 0

<=> 2 a + 2 = 0

<=> 2 a = - 2

<=> a = - 1

 

Daraus ergibt sich für c:

c = 1 - 2 a = 1 - 2 * ( - 1 ) = 1 + 2 = 3

also

c = 3

 

Somit sind die Parameter a, c und e bestimmt und die gesuchte Funktion lautet:

f ( x ) = a x ⁴ + c x ² + e = - x ⁴ + 3 x ² + 0 = - x ⁴ + 3 x ²

 

Und so sieht der Graph dieser Funktion aus:

Prüfe nach, ob die Bedingungen erfüllt sind!