Beweisen oder widerlegen von Funktionen (sinus)

Question

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) \( |\sin (z)| \leq 1 \) für alle \( z \in \mathbb{C} \)

(b) Die bekannten Nullstellen \( k \cdot \pi \) der reellen Sinusfunktion sind auch die einzigen Nullstellen der komplexen Sinusfunktion.

Answer 1

SIN(a + b·i) = SIN(a)·COSH(b) + i·COS(a)·SINH(b)

|SIN(a + b·i)| = √((SIN(a)·COSH(b))^2 + (COS(a)·SINH(b))^2)

Für a = pi/2 ergibt sich hier COSH(b) und das ist nicht auf zahlenwerte <= 1 beschränkt.

Comments

(1) Fehlt eine Quadratwurzel in Zeile 2?
(2) Warum soll denn  sin(a + b·i)  nur für  a = b = 0  eine Nullstelle haben?

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Quadratwurzel habe ich ergänzt.

Für Nullstellen sollte gelten

SIN(a + b·i) = SIN(a)·COSH(b) + i·COS(a)·SINH(b) = 0

Heißt das nicht das 

SIN(a)·COSH(b) = 0

COS(a)·SINH(b) = 0 

sein müssen?

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Daraus folgt nicht, dass  a = 0  sein muss. Hast du deine Antwort auf den zweiten Teil der Frage ersatzlos entfernt?

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SIN(a)·COSH(b) = 0

COSH(b) wird nie null. damit wird dieser ausdruck 0 wenn SIN(a) = 0 ist also die

also Nullstellen bei a = k*pi

COS(a)·SINH(b) = 0 

wenn a = k*pi ist wird der COS nicht null. Dann müsste der SINH(b) null werden. Ah und der wird bei b = 0 null.

Du hast recht die Nullstellen sind dann bei 

a = k*pi und b = 0