Homogene Differentialgleichung 3. Grades y''' − y'' − y' + y = 0

Question

ich hab hier eine eigentlich recht einfach Aufgabe zu Differentialrechnungen:

y^||| − y^|| − y^| + y = 0

 

Da ich allerdings noch am Anfang vom Verständnis stehe von solchen Aufgaben, komme ich nur so weit:

λ³ - λ² - λ +1 = 0

 

Nullstellen: λ₁=1 und λ₂=-1

 

Weiter habe ich es mit Polynomdivision versucht, aber da kam nichts sinnvolles dabei raus. 

Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Answer 1

die Nullstelle \( \lambda = 1 \) ist doppelt.

Die Lösungen setzen sich zusammen aus Exponentialfunktionen

\( y = C_1 \exp(-x) + C_2 \exp(x) + C_3 x \exp(x) \).

Hier kannst du zur Übung zum Beispiel die Probe machen (durch Einsetzen).

MfG

Mister

PS: Wie für eine lineare Differentialgleichung dritter Ordnung zu erwarten, ist der Lösungsraum hier dreidimensional.

Comments

Wenn die Nullstelle doppelt vorkommt, hat es dann keine Auswirkungen auf das Ergebnis?

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Ja, allgemein \( n \)-fache Nullstellen, das zu googelnde Thema heißt "Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten".