homogene Differentialgleichung 2. Grades y'' + 4y' + 13y = 0. Komplexe Lambda.

Question

Aufgabe:

y'' + 4y' + 13y = 0

 

Mein Lösungsweg bis jetzt:

λ²+4λ+13=0

nach einsetzen in die Mitternachtsformel: 

λ₁=-2+i3

λ₂=-2-i3

 

Da die Nullstellen komplex sind weiß ich grad nicht mehr weiter.

Kann mir jemand sagen wie der nächste Schritt geht, mit bisschen Erklärung falls möglich.

Comments

Kannst du da nicht irgendwie sinus und cosinus draus machen?

Answer 1

Hi,

es gilt, dass wenn λ_1,2 = a±ib ist, dann lauten die zugehörigen Funktionen:

f₁ = e^{ax}cos(bx) und f₂=e^{ax}sin(bx)

wobei man da λ₁ nicht f₁ und λ₂ nicht f₂ zuordnet, sondern man hat hier eine Linearkombination vorliegen.

Das Fundamentalsystem dann noch als allgm. Lösung aufgeschrieben, ergibt:

y_h = c₁f₁ + c₂f₂

Bei uns also:

y = c₁e^{-2x}cos(3x) + c₂e^{-2x}cos(3x)

 

Grüße