Definitionsbereiche und Lösungsmenge bestimmen: 4^{x−2} =10; 2ln(x)=1/(ln(2))

Question

Ermitteln Sie die Definitionsmenge der vorliegenden Gleichungen und Sie geben ihre vollständige Lösungsmenge L in R an:
a.) ln(x−1)− 1/2 ln(4) = 1/4 ln(16)−ln(x+2)
b.) ln(x−1) = 1
c.) 4^{x−2} =10

d.) 2ln(x)=1/(ln(2))
e.) 2e^{2y}−2e^y=4.

Answer 1

Einschränkungen im Definitionsbereich gibt es wenn der Term im LN <= 0 ist. Das darf nicht sein.

a) x = -3 ∨ x = 2

b) x = e + 1 = 3.718281828

c) x = LN(5)/(2·LN(2)) + 5/2 = 3.660964047

d) x = e^{1/(2·LN(2))} = 2.057203467

e) y = LN(2)

Comments

Wie genau löst du denn ln auf? Habe da Probleme das irgendwie zusammen zu fassen

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Wie weit kommst du den selber? hast du es mal probiert? Wo genau hast du die Probleme?

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Zum Beispiel bei der ersten Aufgaben weiß ich einfach gar nicht genau wie ich das ln auflösen soll, ich habe immer Kommazahlen von 3, raus und dann passt das nicht mehr.
Ich habe dafür irgendwie noch kein Ahnung von. Also wenn du mir erklären würdest wie genau ich den auflösen muss dann wäre ich schon einen Schrott weiter.

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a)

LN(x - 1) - 1/2·LN(4) = 1/4·LN(16) - LN(x + 2)

LN(x - 1) - LN(4^{1/2}) = LN(16^{1/4}) - LN(x + 2)

LN(x - 1) - LN(2) = LN(2) - LN(x + 2)

LN((x - 1)/2) = LN(2/(x + 2))

(x - 1)/2 = 2/(x + 2)

(x - 1)(x + 2) = 4

x^2 + x - 2 = 4

x^2 + x - 6 = 0

x = -3 ∨ x = 2

Geh das Zeile für Zeile durch. Schau welche Umformungen angewendet wurden. Versuche die auch bei ähnlichen Aufgaben anzuwenden.

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Danke. Hatte meinen Fehler schon in der ersten Zeile indem ich das nicht hoch gesetzt habe.. Danke ehrlich :)

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Eine Frage noch zu d)
2ln(x) = 1/(ln(2))

wenn ich das nun auflöse
ln(x^2) * ln(2) = 1

x^2+2 = e+ 1
x*2= e+1 geteilt durch 2
und dann Wurzel ziehen oder nicht?

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Es gibt keinen Grund die LN(2) auf die linke Seite zu bringen. Das ist eine Zahl die mal im Zweifel ausrechnen könnte.

Außerdem

LN(a) * LN(b) ≠ LN(a + b)

Schau die die Logarithmenregeln nochmals an.

2ln(x) = 1/(ln(2))

ln(x) = 1/(2ln(2))

x = EXP(1/(2ln(2)))