Monotonie von f : R → R mit f (x) = (1/3)x^3 (x − 2)^2 untersuchen und lokale extrema bestimmen

Question

Untersuchen Sie die Funktion f : R → R mit f (x) = (1/3)x^3 (x − 2)^2 auf Monotonie und bestimmen Sie alle lokalen Extrema.

Answer 1

Hi,

die Ableitung kann bestimmt werden zu

f'(x) = 1/3*(x-2)*x^2*(5x-6)

x₁ = 2 und x₂ = 6/5 sind Extrempunkte (Probe mit VZW oder zweiter Ableitung)

x_3,4 = 0 ist eine doppelte Nullstelle und kein Extrempunkt sein.

 

H(6/5|1152/3125) und T(2/0)

 

Damit kann man dann das mit der Monotonie hinlegen:

I₁ = {-∞ < x ≤ 6/5}  -> streng steigend

I₂ = {6/5 ≤ x ≤ 2} -> streng fallend

I₃ = {2 ≤ x < ∞} -> streng steigend

 

Grüße

Comments

@unknown

f'(x) = 1/3*(x-2)*x²*(5x-6)
Die erste Ableitung scheint zu stimmen, aber wie
bist du darauf gekommen ?

" I₁ = {-∞ < x ≤ 6/5}  -> streng steigend "
Im Bereich liegt ein Sattelpunkt bei x = 0, daher
dürfte es nur lauten :
" I₁ = {-∞ < x ≤ 6/5}  -> steigend "

mfg Georg

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Nein, meine Aussage ist richtig.

Beachte die Definition von "streng monoton".

Erst heute hatten wir dazu einen Thread.

https://www.mathelounge.de/129052/korrekte-schreibweise-fur-monotonie-und-intervall-beispiel


Aber wie Du in meinem einleitenden Satz siehst...bis vor "kurzem" dachte ich genau wie Du :D.

Answer 2

f  ( x ) = (1/3 * )x³ * ( x − 2 )²
f ´( x ) = 1/3 * [ 3 * x^2 * ( x - 2)^2 + x^3 * 2 * ( x - 2 ) * 1 ]
f ´ ( x ) = 1 /3 * ( x - 2 ) * [ 3 * x^2 ( x - 2 ) + 2 * x^3 ]
f ´ ( x ) = 1 /3 * ( x - 2 ) * [ 3 * x^3  - 6 * x^2  + 2 * x^3 ]
f ´ ( x ) = 1 /3 * ( x - 2 ) * [ 5 * x^3  - 6 * x^2   ]
( x - 2 ) = 0
x = 2
[ 5 * x^3  - 6 * x^2  ]  = 0
x^2 * [ 5 * x - 6 ] = 0
x = 0
5 * x - 6 = 0
x = 1.2
Waagerechte Tangente
x = 2
x = 0
x = 1.2
2.Ableitung
f ´ ( x ) = 1 /3 * ( x - 2 ) * [ 5 * x^3  - 6 * x^2  ]
f ´ ( x ) = 1 /3 * [ 1 * [ 5 * x^3  - 6 * x^2  ] + ( x - 2 ) * ( 5 * x^3 - 6 * x^2 )
f ´ ( x ) = 1 /3 * ( 5 * x^3  - 6 * x^2  +  5 * x^4 - 6 * x^3 - 10 * x^3  + 12 * x^2 )
f ´ ( x ) = 1 /3 * ( 5 * x^4  - 11 * x^3  + 6 * x^2  )
Einsetzen
f ´ ( 2) = 1 /3 * ( 5 * 2^4  - 11 * 2^3  + 6 * 2^2  )
f ´ ( 0 ) = 1 /3 * ( 5 * x^4  - 11 * x^3  + 6 * x^2  ) = 0
f ´ ( 1.2 ) = 1 /3 * ( 5 * 1.2^4  - 11 * 1.2^3  + 6 * 1.2^2  )

0 ist einSattelpunkt
1.2 ist einHochpunkt
2 ist ein Tiefpunkt.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

 

Comments

Die Gleichung hieß: 1/3x^3*(x-2)^2

sorry.


ist dann die Ableitung X^2*2x-4
Und somit x1= -1+Wurzel5 und x2=-1-wurzel5 ?

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1/3x³*(x-2)²

bitte versuche einmal so zu klammern das die Funktion
eindeutig wird

( 1 / 3 )  * x^3 * ( x-2)^2
oder
1 / ( 3 * x^3 ) * ( x-2)^2

Falls du die Aufgabe aus einem Buch entnommen
hast dann schreib sie bitte mal so hin wie im Buch
angegeben.

mfg Georg

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Habe ich vorhin aufgeschrien. Wie sie da stand
1/3x^3*(x-2)^2

ein drittel x^3 und dann  der Rest

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dann müßte meine Ableitung(en) doch stimmen.
1.Ableitung durch die Produktregel.
Siehst du irgendwo einen Fehler oder
falls du Fragen hast bitte melden.
mfg Georg

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Kannst du mir vielleicht bei dem natürlichen Logarithmus helfen? Ich weiß nicht genau, wie man den auflösen soll .. Nur irgendwie erklären?
Folgende aufgabe: Ermitteln Sie die Definitionsmenge der vorliegenden Gleichungen und Sie geben ihre vollständige Lösungsmenge L in R an:

a.) ln(x−1)− 1/2 ln(4) = 1/4 ln(16)−ln(x+2)
b.) ln(x−1) = 1
c.) 4^{x−2} =10

d.) 2ln(x)=1/(ln(2))
e.) 2e^{2y}−2e^y=4.

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Ich glaube diese Aufgaben hat jemand vor ein paar Tagen schon  reingestellt. Versuch vielleicht via Suche die Antwort zu finden.

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Ja habe ich schon gesehen aber da stehen nur die Lösungen und bekomme nie das Ergebnis raus ..

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Bitte dort weiterfragen und hier (wenn du willst) einfach mal den Link angeben.

Answer 3

meine Antwort

https://www.mathelounge.de/129038/monotonie-lokale-extrema-fur-f-x-1-3x-3-x-2-2