Auflösen von Gleichungen nach x. Bsp. a) (x+4)^2+(x-6)^2 = 2x^2

Question

Wer kann mir diese zwei Gleichungen schrittweise auflösen?

 

a) (x+4)²+(x-6)² = 2x²

 

b) (2x+3)² = 4x²+45

Answer 1

 

Im ersten Schritt müssen die Klammern weg. Dazu sind die binomischen Formeln zu verwenden. 

(Anm: Ich schreibe ^2 statt ²)

a) (x+4)²+(x-6)² = 2x²

x^2 + 8x + 16 + x^2 - 12x + 36 = 2x^2    

2x^2 - 4x + 52  = 2x^2    |-2x^2 + 4x

52 = 4x      |:4

13 = x

Probe: 17^2 + (-7)^2 = 289 + 49 = 338; 2*13^2 = 2*169 = 338 ok.

 

b) (2x+3)² = 4x²+45

4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 45   |-4x^2 - 9

12x = 36    |:12

x = 3

Probe: 9^2 = 81; 4*9 + 45 = 36 + 45 = 81 ok.

Answer 2

a) (x + 4)² + (x - 6)² = 2x² | Anwendung binomischer Formeln

(x^2 + 8x + 16) + (x^2 - 12x + 36) = 2x^2 | Zusammenfassen

2x^2 - 4x + 52 = 2x^2 | -2x^2 - 52

-4x = -52 | :(-4)

x = 13

 

b) (2x + 3)² = 4x² + 45 | Binomische Formeln

4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 45 | -4x^2 - 9

12x = 36 | :12

x = 3

 

Answer 3

a) Zuerst Binom auflösen (1.& 2. Formel):

(x+4)²+(x-6)² = 2x²

(x+4)(x+4)+(x-6)(x-6) = 2x²

x²+8x+16+(x-6)(x-6) = 2x²

x²+8x+16 + x²-12x+36 = 2x²

 

Dies ist nun so weit wie möglich zu vereinfachen: 

x²+8x+16 + x²-12x+36 = 2x²

2x²-4x+52 = 2x²

 

Und nun kann man die 2x² einfach wegsubtrahieren:

 2x²-4x+52 = 2x²  ¦ -2x²

-4x+52 = 0

 

Und diese Gleichung kann man ganz einfach auflösen:

-4x+52 = 0    ¦ + 4x

52 = 4x          ¦ ... : 4

13 = x

 

b) Hier gilt wieder dasselbe:

(2x+3)² = 4x²+45

(2x+3)(2x+3) = 4x²+45

4x²+12x+9 =  4x²+45

 

Und nun die x² entfernen und dann die Gleichung ganz normal auflösen:

4x²+12x+9 =  4x²+45        ¦ -4x²

12x+9 =  45         ¦ -9

12x =  36        ¦ ... : 12

x = 3

 

Ich hoffe, ich konnte helfen und du verstehst es nun!

Simon