Integralrechnung: Vo*e^{-ct} integrieren.

Question

Ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe und würde mich sehr über eine Antwort freuen.

\( x(t)=\int v_{0} * e^{-c^{*} t} * d t=-\frac{v_{0}}{c} * e^{-c * t} \)

Ist denn diese Aufgabe richtig gerechnet oder eher nicht und wenn ja, warum?

Answer 1

Ausser dass da am Schluss die Integrationskonstante + D fehlt ist alles ok.

Kontrolle:

Leite das Resultat ab und vergiss die Kettenregel nicht.

x(t) = -Vo/c * e^{-ct} + D           |innere Funktion u(t) = -ct hat u'(t) = -c

x'(t) = -Vo/c * e^{-ct} * (-c)               |kürzen

= Vo*e^{-ct}
qed.

Beachte: Wenn du eine lineare innere Funktion im Integranden siehst. u=at + b, läuft die Substitutionsmethode immer auf einen zusätzlichen Faktor 1/a raus.

Answer 2

Zur Überprüfung deiner Integration kannst du die " Probe "
machen indem du dein Ergebnis wieder ableitest. Also
[ - v0 / c * e^{-c*t} ] ´
- v0 / c * [ e^{-c*t} ] ´
- v0 / c * e^{-c*t} * (-c )
v0 * e^{-c*t}
Stimmt also.

mfg Georg