Notwendige Bedingung zur Konvergenz: Fixpunktsatz

Question 1

Aufgabe (Notwendige Bedingung zur Konvergenz)

Zeigen Sie: Falls $ \rho(T) \geq 1 $ existieren $ x^{(0)}, c \in \mathbb{C}^{n} $, so dass die Fixpunktiteration

$ x^{(k+1)}:=T x^{(k)}+c, \quad k \in \mathbb{N}_{0} $

nicht konvergiert.

Question 2

wegen $\rho(T)\geq1$ existieren ein Eigenwert $\lambda$ von $T$ mit $\vert\lambda\vert\geq1$ sowie ein zugehöriger Eigenvektor $z\neq0$, d.h. es gilt $Tz=\lambda z$. Es sei $y$ ein Fixpunkt von $Tx+c$, d.h. es gilt $y=Ty+c$. Wähle nun $x^{(0)}=y+z$. Dann gilt$$x^{(k)}-y=Tx^{(k-1)}+c-y=Tx^{(k-1)}-Ty=T(x^{(k-1)}-y).$$Induktiv folgt$$x^{(k)}-y=T^k(x^{(0)}-y)=T^kz=\lambda^kz.$$Bilde nun die Normen$$\Vert x^{(k)}-y\Vert=\Vert\lambda^kz\Vert=\vert\lambda\vert^k\Vert z\Vert\geq\Vert z\Vert.$$Wegen $\Vert z\Vert\neq0$ kann also die Folge $x^{(k)}$ nicht gegen $y$ konvergieren.

Gast · Answer 1 · 2014-06-17T18:07:13+0000

wegen $\rho(T)\geq1$ existieren ein Eigenwert $\lambda$ von $T$ mit $\vert\lambda\vert\geq1$ sowie ein zugehöriger Eigenvektor $z\neq0$, d.h. es gilt $Tz=\lambda z$. Es sei $y$ ein Fixpunkt von $Tx+c$, d.h. es gilt $y=Ty+c$. Wähle nun $x^{(0)}=y+z$. Dann gilt$$x^{(k)}-y=Tx^{(k-1)}+c-y=Tx^{(k-1)}-Ty=T(x^{(k-1)}-y).$$Induktiv folgt$$x^{(k)}-y=T^k(x^{(0)}-y)=T^kz=\lambda^kz.$$Bilde nun die Normen$$\Vert x^{(k)}-y\Vert=\Vert\lambda^kz\Vert=\vert\lambda\vert^k\Vert z\Vert\geq\Vert z\Vert.$$Wegen $\Vert z\Vert\neq0$ kann also die Folge $x^{(k)}$ nicht gegen $y$ konvergieren.

Notwendige Bedingung zur Konvergenz: Fixpunktsatz

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