Laplace'sche Entwicklung und Determinante

Question

Aufgabe:

(a) Berechnen Sie mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz (ohne Verwendung der Regel von Sarrus) die Determinante von

\( A=\left[\begin{array}{rrrr} 5 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 3 \end{array}\right] \text {. } \)

(b) Bestimmen Sie nun die Determinanten der folgenden Matrizen mit Hilfe des Ergebnisses aus
a) und der Eigenschaften der Determinantenabbildung. Geben Sie auch die verwendeten Eigenschaften an. Verwenden Sie nicht den Laplace'schen Entwicklungssatz!

\( \begin{array}{l} C_{1}=\left[\begin{array}{rrrr} 5 & 0 & -4 & 1 \\ -1 & 2 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & 4 & 3 \end{array}\right] \quad C_{2}=\left[\begin{array}{rrrr} 5 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & 4 \\ 0 & 3 & 4 & 3 \end{array}\right] \\ C_{3} =\left[\begin{array}{rrrr} 5 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 3 \end{array}\right] \quad C_{4}=-2 A^{T} \end{array} \)

Answer 1

a)

$$\left| \begin{matrix} 5 & 0 & -4 & 1 \\ -1 & 2 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & 4 & 3 \end{matrix} \right| $$Entwicklung nach der 3. Zeile, da diese und die zweite Spalte die meisten Nullen aller Zeilen und Spalten enthält und gegenüber jener die "etwas einfacheren" Einträge enthält:$$ =1*\left| \begin{matrix} 0 & -4 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 4 & 3 \end{matrix} \right| +(-1)*0*\left| \begin{matrix} 5 & -4 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & 3 \end{matrix} \right|$$$$+0*\left| \begin{matrix} 5 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix} \right| +(-1)*4*\left| \begin{matrix} 5 & 0 & -4 \\ -1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 4 \end{matrix} \right| $$$$ =\left| \begin{matrix} 0 & -4 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 4 & 3 \end{matrix} \right| -4*\left| \begin{matrix} 5 & 0 & -4 \\ -1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 4 \end{matrix} \right| $$Entwicklung jeweils nach der ersten Spalte (meiste Nullen, "einfachere" Einträge):$$ =0*\left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right| +(-1)*2*\left| \begin{matrix} -4 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right| +3*\left| \begin{matrix} -4 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right|$$$$-4*\left( 5*\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| +(-1)*(-1)*\left| \begin{matrix} 0 & -4 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| +0*\left| \begin{matrix} 0 & -4 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right|  \right) $$$$ =(-2)*\left| \begin{matrix} -4 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right| +3*\left| \begin{matrix} -4 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right| -4*\left( 5*\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| +\left| \begin{matrix} 0 & -4 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right|  \right) $$$$ =(-2)*\left| \begin{matrix} -4 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right| +3*\left| \begin{matrix} -4 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right|-20*\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| -4*\left| \begin{matrix} 0 & -4 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| $$$$ =(-2)*((-4)*3-(1*4))+3*((-4)*2-1*4)$$$$-20*(2*4-4*3)-4(0*4-(-4)*3)$$$$ =(-2)*(-16)+3*(-12)-20*(-4)-4*12$$$$ =32-36+80-48$$$$ =28$$

 

b)

C₁ ergibt sich aus A durch Multiplikation einer Spalte von A mit einem Faktor k ( nämlich der dritten Spalte von A mit dem Faktor k = 4 ), daher gilt:

det ( C₁ ) = k * det ( A ) = 4 * 28 = 112

 

C₂ ergibt sich aus A durch Addition einer Spalte von A zu einer anderen Spalte von A (nämlich der vierten Spalte von A zu deren dritter Spalte). Die Addition einer Zeile oder Spalte zu anderen Zeile oder Spalte verändert nicht den Wert der Determinanten, daher gilt:

det ( C₂ ) = det ( A ) = 28

 

C₃ ergibt sich aus A durch Vertauschen zweier Zeilen von A (nämlich der zweiten und dritten Zeile von A). Die Vertauschung zweier Zeilen oder Spalten negiert den Wert der Determinanten, daher gilt:

det ( C₃ ) = - det ( A ) = - 28

 

C₄ ist das ( - 2 )-Fache der Transponierten von A und da A eine ( 4 x 4 ) - Matrix ist, entspricht dies der viermaligen Multiplikation einer Zeile von A ^Tmit - 2 . Daher gilt:

det ( C₄ ) = det ( ( - 2 ) * A ^T)

= ( - 2 ) * ( - 2 ) * ( - 2 ) * ( - 2 ) * det ( A ^T)

= ( - 2 ) ⁴ * det ( A ^T )

und wegen det ( A ^T) = det ( A ) ergibt sich also:

= ( - 2 ) ⁴ * det ( A )

= 16 * 28

= 448

Comments

ok vielen dank für deine ausführliche Antwort!!

ich guck mir das jetzt mal genau an und rechne es so noch mal nach.

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bei a hast du wohl irgendwie eine falsche 3 spalte aus b genommen ;) aber die Rechnung war

trotzdem sehr gut um es auf die richtige anzuwenden bei der ich als Determinante 7 rausbekommen habe.

bei b verstehe ich das mit den determinantenabbildungen noch nicht ganz, kannst du mir das vielleicht noch mal kurz erklären ?; )

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bei a hast du wohl irgendwie eine falsche 3 spalte aus b genommen ;)

Stimmt, da habe ich die Matrix C₁ aus dem Aufgabenteil b erwischt. Es gilt also:

det ( C₁ ) = 28

Aber: Da C₁ ja dadurch aus A entstanden ist, dass man die dritte Spalte von A mit 4 multipliziert hat, entsteht also A  dadurch, dass man die dritte Spalte von C₁ mit 1 / 4 multipliziert. Und da wir ja nun aus Aufgabenteil b wissen, wie sich die Determinante einer Matrix verändert, wenn man eine Spalte mit einem Faktor multipliziert, können wir die Determinante von A sofort aus der Determinante von C₁ ermitteln. Es ist:

det ( A ) = ( 1 / 4 ) * det ( C₁ ) = ( 1 / 4 ) * 28 = 7

Also derselbe Wert, den du offenbar durch Anwendung des Laplaceshcen ENtwicklungssatzes auf A ermittelt hast. Du hast also richtig gerechnet! ... :-)

Bei den übrigen Aufgaben von Teil b muss man nun natürlich det (A ) = 7 zugrunde legen.

 

Was genau hast du bei Teil b nicht verstanden?

Wie die Matrizen C₁ bis C₄ aus der Matrix A hervorgehen?

Oder nach welchen Regeln sich die Determinante verändert, wenn man bestimmte Veränderungen an Matrix A vornimmt?

 

Hinweis: Bei C₃ habe ich in meiner Antwort noch einen Fehler entdeckt und korrigiert (rot markiert). Statt dem Wort "Zeilen" stand dort vorher fälschlicherweise das Wort "Spalten. 

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ja genau mir ist nicht ganz klar wie ich das aufschreiben soll. das prinzip hab ich verstanden

also wie du auf die jeweiligen determinanten gekommen bist und auch die rechenschritte,

aber tue mich beim aufschreiben schwer da ich ja irgendwelche regeln mit angeben muss

oder?! also welche eigenschaften soll ich denn da angeben? hab mir zwar notiert was zB

multilinearität bzw. allernuierend ist aber kann es absolut nicht entscheiden welches du davon

wo benutzt hast :S

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Nun, die Regeln solltet ihr gelernt haben.

Sie lauten:

Multipikation einer Zeile oder Spalte mit einem Faktor k 

Entsteht Matrix B aus Matrix A dadurch, dass eine Spalte von A mit einem Faktor k multipliziert wird, dann gilt:

det ( B ) = k * det ( A )

Addition einer Zeile bzw. Spalte zu einer anderen Zeile bzw. Spalte

Entsteht Matrix B aus Matrix A dadurch, dass eine Zeile bzw. Spalte von A zu einer anderen Zeile bzw. Spalte von A addiert wird, dann gilt:

det ( B ) = det ( A )

Vertauschung zweier Zeilen bzw. Spalten

Entsteht Matrix B aus Matrix A dadurch, dass zwei Zeilen bzw. Spalten von A vertauscht werden, dann gilt:

det ( B ) = - det ( A )

Transposition

Entsteht Matrix B aus Matrix A dadurch, dass Matrix A transponiert wird, ist also B = A ^T , dann gilt:

det ( B ) = det ( A ^T ) = det ( A )

Multiplikation mit einem Faktor

Entsteht Matrix B aus einer ( n x n ) - Matrix A dadurch, dass Matrix A mit einem Faktor k multipliziert wird, ist also B = k * A , dann gilt:

det ( B ) = 2 ^k * det ( A )

 

Ist dir damit geholfen? Oder wolltest du etwas anderes genauer wissen?

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achso ok dachte ich muss das mit multilinar und so anwenden hatte die tabelle mit diesen eigenschaften auf einem einzelnen zettel :S aber danke für die ausführlich erkläung!