Gegeben sei eine Wertetabelle. Wie lässt sich feststellen, ob eine Potenzfunktion dargestellt ist?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Wertetabelle. Wie lässt sich feststellen, ob hierin eine Potenzfunktion der Form \( \mathrm{f}:(0, \infty)->\mathbb{R}, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{\mathrm{r}}(\mathrm{a}, \mathrm{r} \varepsilon \mathbb{R}) \) dargestellt ist?

x	0,5	1,5	2	3
f(x)	-0,1875	-5,0625	-12	-40,5

Comments

Setze 2 Werte ein und berechne damit a und r:

-0,1875 = a*x^{0,5}

- 5,0625 = a^{1,5}


Wenn du a und r hast, überprüfe das Ergebnis für x=3 und x=3.

Answer 1

du testest die Tabelle, indem du die Parameter \( a \) und \( r \) anhand von zwei Wertepaaren \( (x_i, y_i) = (x_i, f(x_i) ) \) bestimmst:

\( a_1 = a_2 \),

\( \frac{y_1}{x_1^r} = \frac{y_2}{y_2^r} \),

\( \frac{y_1}{y_2} = \left(\frac{x_1}{x_2}\right)^r \),

\( r = \frac{\log\left(\frac{y_1}{y_2}\right)}{\log\left(\frac{x_1}{x_2}\right)} = \frac{\log(y_1) - \log(y_2)}{\log(x_1) - \log(x_2)} \).

\( a = \frac{y_1}{x_1^r} \).

Mit diesem Ansatz rechnest du jetzt alle weiteren Einträge der Tabelle durch (also immer \( f(x) \) berechnen). Wenn sie alle mit den gegebenen Werten für \( f(x) \) übereinstimmen, ist festgestellt, dass eine Funktion der Form \( f(x) = ax^r \) dargestellt ist, beziehungsweise genau genommen, dass eine Funktion der Form \( f(x) = ax^r \) stetige Fortsetzung der durch die Wertetabelle gegebenen diskreten Funktion ist.

MfG

Mister

Answer 2

a * 0.5^r = -0.1875
a * 1.5^r = -5.0625

a =  -0.1875 / 0.5^r
a =  -5.0625 / 1.5^r

 -0.1875 / 0.5^r =  -5.0625 / 1.5^r
1.5^r / 0.5^r = -5.0625 / -0.1875
( 1.5 / 0.5 )^r = 27
3^r = 27
r = 3
in 1.einsetzen
a * 0.5^r = -0.1875
a * 0.5^3 = -0.1875
a = -0.1875 / 0.125
a = 1.5

Und jetzt mit allen Wertepaaren überprüfen.

mfg Georg

Comments

hallo georg,

ist a nicht gleich-1,5?

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Stimmt. Es muß heißen  a = -1.5
mfg Georg