Kreisfunktion und Hyperbelfunktion: cos(x+iy) für x,y ∈ℝ durch cos, sin, cosh und sinh für reelle x, y ausdrücken..

Question

Drücken sie cos ( x+iy) und sin(x+iy) für x,y ∈ℝ durch die funktionen cos, sin, cosh und sinh an den reellen Stellen x, y aus.

Answer 1

Ok, ich geb's zu, ich habe mir von WolframAlpha das Ergebnis zeigen lassen (letzte Zeile). In dieses habe ich dann die Definitionen für cos ( x ) , sinh ( y ) , sin ( x ) und cosh ( y ) eingesetzt, alles ausmultipliziert, geeignet zusammengefasst und bin so schließlich auf die Definition von cos ( x + i y ) gekommen. Dann habe ich all das rückwärts aufgeschrieben (vorwärts habe ich es nicht hinbekommen).

$$cos(x+iy)$$$$=\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -ix+y }+\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ ix-y }$$$$=\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ -ix+y }+\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ ix-y }+\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ -ix+y }+\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ ix-y }$$$$=\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ -ix-y }+\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ -ix+y }+\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ ix-y }+\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ ix+y }$$$$-\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ -ix-y }+\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ -ix+y }+\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ ix-y }-\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ ix+y }$$$$=\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ -ix-y }+\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ -ix+y }+\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ ix-y }+\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ ix+y }+\frac { 1 }{ 4 } ({ e }^{ -ix }-{ e }^{ ix })({ -e }^{ -y }+{ e }^{ y })$$$$=(\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -ix }+\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ ix })*(\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -y }+\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ y })$$$$-i*\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) i({ e }^{ -ix }-{ e }^{ ix })*\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) (-{ e }^{ -y }{ + }{ e }^{ y })$$$$=cos(x)*cosh(y)-i*sin(x)*sinh(y)$$

Ähnlich kann man auch für sin ( x + i y ) vorgehen.

Tipp:

Es gilt:

$$sin(x+iy)=sin(x)*cosh(y)+i*cos(x)*sinh(y)$$

Vielleicht schaffst du es damit selber ...