Question

Bestimmen Sie mittels Integration das Volumen des Körpers im R^3 über dem Einheitsquadrant in der x-y-Ebene (mit Eckpunkten (0;0), (1:0), (1;1) und (0;1)) und der Ebene, welche -  in (x;y;z)- Koordinaten -  durch die drei Raumpunkte (0;0;11), (2;0;13) und (0;3;8) festgelegt ist.

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Answer 1

Zunächst musst du die Ebenengleichung in Parameterform aufstellen:

x = (0,0,11)^T + λ (2,0,2)^T + μ (0, 3, -3)^T

Dann überführst du das in die Koordinatenschreibweise:

-x + y + z = 11

Wenn du das jetzt nach z umstellst, hast du eine Funktion, die von x und y abhängig ist, die das "Dach" deines Körpers beschreibt:

z = 11 + x - y

Jetzt musst du nur noch das Flächenintegral über x und y ausrechnen:

∫(0..1) ∫(0..1) 11 + x - y dx dy = ∫(0..1) [11x + x² - yx]₀¹ dy =

∫(0..1) 12 - y dy = [12y - y² ]₀¹ = 12 - 1 = 11.

Das Volumen des Körpers beträgt also 11 Volumeneinheiten.