Exponentialfunktion Zerfallgesetz. Jod hat eine Halbwertzeit von ca 8 Tagen.

Question

Hallo.

Könnte mir vielleicht bitte jemand diese Aufgabe lösen. Ich möchte anhand der Lösung den zusammenhang sehen und verstehen.

Ein radioaktives Präparat enthält eine bestimmte Anzahl zerfallsfähiger Atomkerne, die sich mit der Zeit in die aktive Atomkerne umwandeln, sodass die radioaktive Strahlung mit der Zeit abklingt. Der Zeitraum, in dem die Strahlung auf die Hälfte reduziert wird, heißt „Halbwertzeit“. Jod hat eine Halbwertzeit von ca 8 Tagen.

a) Stellen Sie das Zerfallgesetz f mit der Gleichung f(x)=a*bx  auf, das den Prozentanteil der     Ausgangsmenge in Abhängigkeit der zeitlichen Schritte x (= 8 Tage) angibt. Nach wie vielen Schritten bzw. Tagen ist der Prozentanteil um 75% zurückgegangen?

b) Wandeln Sie die Formel so um, dass sie den Prozentanteil der Ausgangsmenge in Abhängigkeit der Tage angibt. Nach wie vielen Tagen beträgt die Intensität nur noch 5% des Ausgangswertes?

c) Stellen Sie den Zerfallsprozess als e-Funktion dar. Geben Sie den prozentualen täglichen Zerfall an.

d) Stellen Sie die e-Funktion mithilfe einer Wertetabelle dar

Answer 1

Ein radioaktives Präparat enthält eine bestimmte Anzahl zerfallsfähiger Atomkerne, die sich mit der Zeit in die aktive Atomkerne umwandeln, sodass die radioaktive Strahlung mit der Zeit abklingt. Der Zeitraum, in dem die Strahlung auf die Hälfte reduziert wird, heißt „Halbwertzeit“. Jod hat eine Halbwertzeit von ca 8 Tagen.

a) Stellen Sie das Zerfallgesetz f mit der Gleichung f(x)=a*bx  auf, das den Prozentanteil der     Ausgangsmenge in Abhängigkeit der zeitlichen Schritte x (= 8 Tage) angibt. 

f(x) = 0.5^x

Nach wie vielen Schritten bzw. Tagen ist der Prozentanteil um 75% [auf 25%] zurückgegangen?

f(x) = 0.25
0.5^x = 0.25
0.5^x = 0.5^2
x = 2

Nach 2 Schritten bzw. 16 Tagen

b) Wandeln Sie die Formel so um, dass sie den Prozentanteil der Ausgangsmenge in Abhängigkeit der Tage angibt.

f(x) = 0.5^{x/8}

Nach wie vielen Tagen beträgt die Intensität nur noch 5% des Ausgangswertes?

f(x) = 0.05
0.5^{x/8} = 0.05
x = LN(0.05) / LN(0.5) * 8 = 34.58 Tagen

c) Stellen Sie den Zerfallsprozess als e-Funktion dar. Geben Sie den prozentualen täglichen Zerfall an.

f(x) = 0.5^{x/8}

mit 0.5^{1/8} = 0.9170040432

f(x) = 0.9170040432^x

mit LN(0.9170040432) = -0.08664339757

f(x) = e^{-0.08664339757*x}

d) Stellen Sie die e-Funktion mithilfe einer Wertetabelle dar

Schaffst du das selber eine Wertetabelle und eine Skizze zu erstellen?

Comments

Ja habe ich alleine geschafft :)

Vielen Danke

Answer 2

Vorbemerkung : der Ansatz f(x)=a*bx ist sicherlich nicht richtig.
Wenn überhaupt dann f ( x ) = a*b^x.
( Exponentialfunktionen = die Variable x steht im Exponent )

Da du ja ein grundlegendes Verständnis für " Exponentialfunktionen " =
Radioaktivität, Zinsrechnungen haben willst hier ein paar einfache
Beispiele

Zinsrechnung
Wann ist ein Kapital auf das 1.5 fache bei einem Zinssatz von
3 %  angewachsen ?
1.5 = 1.03^x  | ln ( )
x * ln ( 1.03 ) = ln ( 1.5 )
x = 13.717
Probe
1.5 = 1.03^{13.717}  | stimmt

Radioaktivität
Halbwertzeit Jod 8 Tage
50 % = 0.5
0.5 = b^8
8 * ln (b ) = ln ( 0.5 )
ln ( b ) = ln ( 0.5 ) / 8
ln ( b ) = -0.086643  |  e^ ( )
b = 0.917
g ( x ) = 0.917^x
Probe
g ( 8 ) = 0.917^8 = 0.5  | stimmt

Nach wie vielen Schritten bzw. Tagen ist der
Prozentanteil um 75% zurückgegangen?
Restmenge = 25 %
0.25 = 0.917^x  | ln ( )
x * ln ( 0.917 ) = ln ( 0.25 )
x = ln ( 0.25 ) / ln ( 0.917 )
x = 16 Tage

b.)
Nach wie vielen Tagen beträgt die Intensität nur noch 5%
des Ausgangswertes?
0.05 = 0.917^x
x * ln ( 0.917 ) = ln ( 0.05 )
x = 34.57 Tage

c.)
Stellen Sie den Zerfallsprozess als e-Funktion dar.

Gesucht wird k
0.917^x = e^{k*x}  | ln ( )
x * ln ( 0.917 ) = ( x * k ) * ln (e )  | ln ( e ) = 1 , x kürzt sich weg
ln ( 0.917 ) = k
k = -0.08665
Formel
h ( x ) = e^{-0.08665*x}

Geben Sie den prozentualen täglichen Zerfall an.
g ( x ) = 0.917^x
Genau wie bei der Zinsrechnung
91.7 % = 100 % - 8.3 %
Täglich zerfallen 8.3 % der Substanz.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

ja war natürlich f ( x ) = a*b^x   :)

Vielen Dank :)