Da steht ja "erste Möglichkeit". Es gibt also noch andere Möglichkeiten, das zu beweisen, inbesondere über Sätze wie z.B. die Grenzwertsätze, wo schon bewiesen wurde, dass diese gelten.
In diesem Fall ist nach einem Beweis direkt über die Definition der konvergenten Folge gefragt.
Diese lautet:
Die Zahl \( a \in \mathbb{ R } \) heisst Grenzwert der Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N} }\), falls es für alle \(\epsilon > 0\) eine natürliche Zahl \(N \in \mathbb{ N }\) gibt, so dass \(|a_n - a| < \epsilon\), falls \(n \ge N\).
Kürzer:
$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb{ N } \forall n \ge N: |a_n - a| < \epsilon$$
In deinem Fall wurde das N nur \( n_0 \) genannt.
Man hat also ein beliebiges \( \epsilon \) größer 0. Man zeigt nun, dass es ein natürliches N gibt, von dem an der Abstand von a zur Folge \( a_n \) für alle folgenden Folgenglieder nach N (inklusive \( a_N \) ) kleiner als \( \epsilon \) ist.
Sei also ein \( \epsilon > 0\) gegeben.
Zu zeigen ist, dass ein \(n_0\) existiert, so dass $$| a_n - a | = | \frac{2n-1}{3n} - \frac{2}{3} | < \epsilon$$ für alle \(n \ge n_0\).
Also es ist
$$| \frac{2n-1}{3n} - \frac{2}{3}| = | \frac{-3}{3n} | = | - \frac{1}{n} | = \frac{1}{n} < \epsilon \Leftrightarrow n > \frac{1}{\epsilon}$$
Also muss $$n_0( \epsilon ) > \frac{1}{\epsilon}$$ gelten. Damit das gilt, runden wir \( \frac{1}{\epsilon} \) einfach auf und addieren noch 1.
Also setzen wir $$n_0( \epsilon ) := \lceil \frac{1}{\epsilon} \rceil + 1$$
Dann gilt die Definition für diese Folge. Wir haben gezeigt, dass solch ein n0 existiert.
Das ist oftmals schwierig mit der Definition zu beweisen, deswegen hat man ja auch die Grenzwertsätze, Einschnürsatz etc. bewiesen, damit das leichter geht.
